中国大学生第一门户 一大户 www.yidahu.com 函数z?f(x,y)在一点p(x,y)沿任一方向其中?为x轴到方向l的转角。函数z?f(x,y)在一点p(x,y)的梯度：gradf(x,y)?它与方向导数的关系是单位向量。是gradf(x,y)在l上的投影。?l多元函数的极值及其求法： ??f?f??f?i?j?x?yl的方向导数为：?f?l??f?x ?f?ysin?cos?????f??：?gradf(x,y)?e，其中e?cos??i?sin??j，为l方向上的?l
设fx(x0,y0)?fy(x0,y0)?0，令：fxx(x0,y0)?A, fxy(x0,y0)?B, fyy(x0,y0)?C??A?0,(x0,y0)为极大值2??AC?B?0时，?A?0,(x0,y0)为极小值??2则：值?AC?B?0时， 无极?AC?B2?0时, 不确定???
重积分及其应用：
??Df(x,y)dxdy???D?f(rcos?,rsin?)rdrd???z???z???1??????dxdy??x???y?22曲面z?f(x,y)的面积A???Dx平面薄片的重心：x?MM??x?(x,y)d??D???(x,y)d?D, y?MMy???DDy?(x,y)d????(x,y)d???D
x?(x,y)d?2平面薄片的转动惯量：平面薄片（位于Fx?f对于x轴Ix???Dy?(x,y)d?, 对于y轴Iy?2xoy平面）对z轴上质点M(0,0,a),(a?0)的引力：F?{Fx,Fy,Fz}，其中：， Fy?f3??D?(x,y)xd?222??D?(x,y)yd?222， Fz??fa??3D?(x,y)xd?3(x?y?a)2(x?y?a)2(x?y?a)2222柱面坐标和球面坐标：
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中国大学生第一门户 一大户 www.yidahu.com ?x?rcos??柱面坐标：?y?rsin?, ???f(x,y,z)dxdydz???z?z?其中：F(r,?,z)?f(rcos?,rsin?,z) ????F(r,?,z)rdrd?dz,?x?rsin?cos??2球面坐标：?y?rsin?sin?， dv?rd??rsin??d??dr?rsin?drd?d??z?rcos??2?
?r(?,?)????f(x,y,z)dxdydz?1M????F(r,?,?)rsin?drd?d??1M2?d??d?00?F(r,?,?)rsin?dr02重心：x?转动惯量：????x?dv, y?????y?dv, z?1M2????z?dv， 其中M?x?22?????dvIx?????(y?z)?dv， Iy?22????(x?z)?dv， Iz?2????(x?y)?dv曲线积分：
第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：?x??(t)设f(x,y)在L上连续，L的参数方程为：?, (??t??),则：y??(t)???Lf(x,y)ds????x?t22f[?(t),?(t)]??(t)???(t)dt (???) 特殊情况：??y??(t)中国大学生第一门户 www.yidahu.com
中国大学生第一门户 一大户 www.yidahu.com 第二类曲线积分（对坐设L的参数方程为标的曲线积分）： ?x??(t)，则：??y??(t)??P(x,y)dx?Q(x,y)dy??{P[?(t),?(t)]??(t)?Q[?(t),?(t)]??(t)}dtL?两类曲线积分之间的关L上积分起止点处切向量格林公式：??(D系：?Pdx?Qdy?L?(Pcos?L?Qcos?)ds，其中?和?分别为的方向角。)dxdy??Q?x??P?y?Pdx?Qdy格林公式：??(LD?Q?x??P?y)dxdy?12?PdxL?Qdy?Q?P当P??y,Q?x，即：??2时，得到D的面积：A??x?y·平面上曲线积分与路径1、G是一个单连通区域；2、P(x,y)，Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数减去对此奇点的积分，·二元函数的全微分求积在?Q?x＝?P?y注意方向相反！：，且?Q?x无关的条件：??Ddxdy??xdyL?ydx＝?P?y。注意奇点，如(0,0)，应
时，Pdx?Qdy才是二元函数u(x,y)的全微分，其中：(x,y)u(x,y)??P(x,y)dx?Q(x,y)dy，通常设(x0,y0)x0?y0?0。曲面积分： 对面积的曲面积分：对坐标的曲面积分：????f(x,y,z)ds???Dxyf[x,y,z(x,y)]1?zx(x,y)?zy(x,y)dxdy22??P(x,y,z)dydzDxy?Q(x,y,z)dzdx?R(x,y,z)dxdy，其中：号；??R(x,y,z)dxdy?????R[x,y,z(x,y)]dxdy，取曲面的上侧时取正????P[x(y,z),y,z]dydz，取曲面的前侧时取正Dyz
号；号。?Qcos??Rcos?)ds??P(x,y,z)dydz???Q(x,y,z)dzdx?????Q[x,y(z,x),z]dzdx，取曲面的右侧时取正Dzx两类曲面积分之间的关系：??Pdydz?Qdzdx?Rdxdy????(Pcos??高斯公式：
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????(?P?x??Q?y??R?z)dv???Pdydz??Qdzdx?Rdxdy???(Pcos???Qcos??Rcos?)ds高斯公式的物理意义——通量与散度：?div??0,则为消失...??P?Q?R散度：div????,即：单位体积内所产生的流体质量，若?x?y?z??通量：??A?nds???Ands???(Pcos??Qcos??Rcos?)ds，???因此，高斯公式又可写成：?????divAdv???A?nds斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系：
???(?R?y??Q?z)dydz?(?P?z??R?x)dzdx?(dzdx??yQ?Q?x??P?y)dxdy?cos???xP?Pdx??Qdy?Rdzcos???zR上式左端又可写成：???dydz??xPdxdy??zR?R?y?????cos???yQ空间曲线积分与路径无i??xPj??yQ关的条件：k??zR?Q?P?R?Q?P， ?， ??z?z?x?x?y
?旋度：rotA??向量场A沿有向闭曲线?的环流量：?Pdx?Qdy?Rdz??????A?tds常数项级数：
等比数列：1?q?q???q等差数列：1?2?3???n?调和级数：1?12?13???1n2n?1?1?qn1?q(n?1)n2
是发散的级数审敛法：
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中国大学生第一门户 一大户 www.yidahu.com 1、正项级数的审敛法——根植审敛法（柯西判别法）： 设：??limnn?????1时，级数收敛?un，则???1时，级数发散???1时，不确定?2、比值审敛法：???1时，级数收敛Un?1?设：??lim，则???1时，级数发散n??Un???1时，不确定?3、定义法：sn?u1?u2???un;limsn存在，则收敛；否则发n??
散。交错级数u1?u2?u3?u4??(或?u1?u2?u3??,un?0)的审敛法??un?un?1如果交错级数满足?limu?0，那么级数收敛且其和??n??n绝对收敛与条件收敛：
(1)u1?u2???un??，其中un为任意实数；(2)u1?u2?u3???un??如果(2)收敛，则(1)肯定收敛，且称为绝对如果(2)发散，而(1)收敛，则称调和级数：? 级数：?1nn发散，而收敛；ｐ?１时发散 p?1时收敛收敛级数；——莱布尼兹定理：
s?u1,其余项rn的绝对值rn?un?1。(1)为条件收敛级数。n
?(?1)n收敛；12 p级数：?1np幂级数：
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