中国大学生第一门户 一大户 www.yidahu.com xTBx?xTCTACx??Cx ?TACx?0
（C可逆，x?0，?Cx?0！） 我们给出关于正定的以下性质 A正定?A~?E
?存在实可逆矩阵C，A?CTC。 ?A的正惯性指数?n。 ?A的特征值全大于0。
?A的每个顺序主子式全大于0。
判断A正定的三种方法： ①顺序主子式法。 ②特征值法。 ③定义法。
基本概念
对称矩阵AT?A。 反对称矩阵AT??A。
简单阶梯形矩阵：台角位置的元素都为1 ，台角正上方的元素都为0。 如果A是一个n阶矩阵，A是阶梯形矩阵?A是上三角矩阵，反之不一定 矩阵消元法：（解的情况）
①写出增广矩阵?A??，用初等行变换化?A??为阶梯形矩阵?B??。 ②用?B??判别解的情况。
i）如果?B??最下面的非零行为?0,?,0d?，则无解，否则有解。
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中国大学生第一门户 一大户 www.yidahu.com ii）如果有解，记?是?B??的非零行数，则 ? ?n时唯一解。 ??n时无穷多解。
iii）唯一解求解的方法（初等变换法）
去掉?B??的零行，得?B0 ?0?，它是n??n?c?矩阵，B0是n阶梯形矩阵，从而是上三角矩阵。
则bn n?0?bn?1 n?1?0??bii都不为0。 ?A??????Br?????E?? ?就是解。
行行
a11a12a22?an2????a1na2n?anna21?an1一个n阶行列式的值：
①是n!项的代数和
②每一项是n个元素的乘积，它们共有n!项 a1ja2j?anj其中j1j2?jn是1,2,?,n的一个全
12n排列。
③a1j?anj 前面乘的应为??1?1n??j1j2?jn? ??j1j2?jn?的逆序数
????1?j1j2?jn??j1j2?jn?a1j1a2j2?anjn
??n?n?1??21??Cn?2n?n?1?2
代数余子式
Mij为aij的余子式。 Aij???1?i?jMij
定理：一个行列式的值D等于它的某一行（列），各元素与各自代数余子式乘积之和。 D?a21A21?a22A22???a2nA2n
一行（列）的元素乘上另一行（列）的相应元素代数余子式之和为0。
范德蒙行列式
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中国大学生第一门户 一大户 www.yidahu.com 11a1??1an?
a1?(ai?jj?ai) Cn个
2
乘法相关
AB的?i,j?位元素是A的第i行和B的第j列对应元素乘积之和。 Cij?ai1b1j?ai2b2j???ainbnj
乘积矩阵的列向量与行向量
（1）设m?n矩阵A???1,?2,?,?n?，n维列向量???b1,b2,?,bn?，则 A??b1?1?b2?2???bn?n 矩阵乘法应用于方程组 方程组的矩阵形式
Ax??，???b1,b2,?,bm? 方程组的向量形式
x1?1?x2?2???xn?n?? （2）设AB?C，
AB??A?1,A?2,?,A?s?
ri?A?i?b1i?1?b2i?2???bni?n
AB的第i个列向量是A的列向量组的线性组合，组合系数是B的第i个列向量的各分量。
AB的第i个行向量是B的行向量组的线性组合，组合系数是A的第i个行向量的各分量。
矩阵分解
当矩阵C的每个列向量都是A的列向量的线性组合时，可把C分解为A与一个矩阵B的乘积
特别的在有关对角矩阵的乘法中的若干问题 ??1??0 ??1,?2,?,?n??0??0?000?00??0? ???1?1,?2?2,?,?n?n? 0???n??T?T?
?200 对角矩阵从右侧乘一矩阵A，即用对角线上的元素依次乘A的各列向量
对角矩阵从左侧乘一矩阵A，即用对角线上的元素依次乘A的各行向量
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中国大学生第一门户 一大户 www.yidahu.com 于是AE?A，EA?A A?kE??kA，?kE?A?kA
两个对角矩阵相乘只须把对角线上对应元素相乘
对角矩阵的k次方幂只须把每个对角线上元素作k次方幂
对一个n阶矩阵A，规定tr?A?为A的对角线上元素之和称为A的迹数。 于是 ???T?k?????Tk?1??T?tr????T??k?1TT?? ???tr???T?
其他形式方阵的高次幂也有规律 ?1? 例如：A??0?1?0201??0? 1??初等矩阵及其在乘法中的作用
（1）E?i,j?：交换E的第i,j两行或交换E的第i,j两列 （2）E?i(c)?：用数c??0?乘E的第i行或第i列
（3）E?i,j(c)?：把E的第j行的c倍加到第i行上，或把E的第i列的c倍加到第j列上。 初等矩阵从左（右）侧乘一个矩阵A等同于对A作一次相当的初等行（列）变换
乘法的分块法则
一般法则：在计算两个矩阵A和B的乘积时，可以先把A和B用纵横线分割成若干小矩阵来进行，要求A的纵向分割与B的横向分割一致。
两种常用的情况 （1）A,B都分成4块
?A11 A???A?21A12??B11?，B???BA22???21B12?? B22??
其中Ai1的列数和B1j的行数相等，Ai2的列数和B2j的行数相关。 ?A11B11?A12B21 AB???AA?AB2221?2111A11B12?A12B22??
A21B12?A22B22?? （2）准对角矩阵
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中国大学生第一门户 一大户 www.yidahu.com ?A11??0 ???0???? ????A110?000A2200A22????????0??0?? ?Akk??0??B11??0??0??????Akk???00B22?0????0??A11B11??0??0???????Bkk???00 ???00A22B220AkkBkk???? ???
矩阵方程与可逆矩阵
两类基本的矩阵方程 （都需求A是方阵，且A?0） ?I?Ax?B ?II?xA?B （I）的解法：
???Ex? ?AB??行 （II）的解法，先化为ATxT?BT。
ATBT?ExT。 通过逆求解：Ax?B，x?A?1B
可逆矩阵及其逆矩阵
定义：设A是n阶矩阵，如果存在n阶矩阵H，使得AH?E，且HA?E，则称A是可逆矩阵，称H是A的逆矩阵，证作A?1。 定理：n阶矩阵A可逆?A?0 求A?1的方程（初等变换法）
行?1 ?AE?? ??EA??????
伴随矩阵
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