参考答案
1．解：（Ⅰ）f?(x)?ax2?2bx?c，由题意及导数的几何意义得
f?(1)?a?2b?c?0， （1）
f?(m)?am2?2bm?c??a， （2） ………………2分
又a?b?c，可得4a?a?2b?c?4c，即4a?0?4c，故a?0,c?0, ………3分 由（1）得c??a?2b，代入a?b?c，再由a?0，得
1b???1， （3） ……………………4分 3a将c??a?2b代入（2）得am2?2bm?2b?0，即方程ax2?2bx?2b?0有实根．
故其判别式??4b2?8ab≥0得
bb≤?2，或≥0， （4） ……………………5分 aab由（3），（4）得0≤?1； ……………………6分
a（Ⅱ）由f?(x)?ax2?2bx?c的判别式???4b2?4ac?0， 知方程f?(x)?ax2?2bx?c?0(?)有两个不等实根，设为x1,x2，
又由f?(1)?a?2b?c?0知，x1?1为方程（?）的一个实根，则有根与系数的关系得
x1?x2??2b2b,x2???1?0?x1， ……………………9分 aa当x?x2或x?x1时，f?(x)?0，当x2?x?x1时，f?(x)?0， 故函数f(x)的递增区间为[x2,x1]，由题设知[x2,x1]?[s,t]， 因此|s?t|?|x1?x2|?2?2bb，由（Ⅰ）知0≤?1得|s?t|的取值范围为[2,4)；…12分 aa（Ⅲ）由f?(x)?a?0，即ax2?2bx?a?c?0，即ax2?2bx?2b?0，
bbbx?2??0，整理得(2x?2)?x2?0， aaabbb设g()?(2x?2)?x2，可以看作是关于的一次函数，
aaabb由题意g()?0对于0≤?1恒成立，
aa因为a?0，则x2?2?2??g(?1)≥0,?x+2x?2≥0,故? 即?2得x≤?3?1或x≥3?1， ?g(0)?0,??x?0,由题意，[k,??)?(??,?3?1]?[3?1,??)，
故k≥3?1，因此k的最小值为3?1． ……………………16分 2．（本小题满分12分） 解：（1）依题意，随机变量ξ的取值是0，1，6，8．
P(ξ=0)=0.1，P(ξ=1)=?0.9，P(ξ=6)= 得?分布列： ……6分
3832?0.9，P(ξ=8)= ?0.9． 88? Pi （2）
0 1 6 8 0.1 3?0.9 83?0.9 82?0.9 8E?=0?0.1?332?0.9?1??0.9?6??0.9?8?4.2．……12分 8883．（本小题满分14分）
PF1?PF2，…………∵解：（1）c2?a2?b2，∴c2?4m2．……2分 又∵PF1?PF2?0 ∴
3分 ∴PF1?PF222??2c??16m2．……5分
2由椭圆定义可知PF1?PF2?2a?26m，PF1?PF2??2?16m2?8?24m2，…6分
0?、F2?2，0?． …………7分 从而得m2?1，c2?4m2?4，c?2． ∴F1??2，F1（-2，0）（2）∵，F2（2，0），
由已知：QF1?2QM，即QF1?2QM，所以有：QF1?2QF2?1，设P（x，y）， …9分 则?x?2??y?2??x?2??y?1?，…12分
2222222?2???2即?x?6??y?32（或x2?y2?12x?4?0） 2综上所述，所求轨迹方程为：?x?6??y?32．…14分 22y Q（x，y） M F1 O F2 x
4．（本小题满分14分） 解：（1）由an＋1＝an＋6an－1，an＋1＋2an＝3(an＋2an－1) (n≥2) ∵a1＝5，a2＝5 ∴a2＋2a1＝15
故数列{an＋1＋2an}是以15为首项，3为公比的等比数列 …………5分
＋
（2）由（1）得an＋1＋2an＝5·3n 由待定系数法可得(an＋1－3n1)＝－2(an－3n)
－－
即an－3n＝2(－2)n1 故an＝3n＋2(－2)n1＝3n－(－2)n ………9分
2
（3）由3nbn＝n(3n－an)＝n[3n－3n＋(－2)n]＝n(－2)n，∴bn＝n(－3)n 2222 令Sn＝|b1|＋|b2|＋…＋|bn|＝3＋2(3)2＋3(3)3＋…＋n(3)n 22222＋
3Sn＝(3)2＋2(3)3＋…＋(n－1)(3)n＋n(3)n1 …………11分
22n[1－(3)]1222232n2n+132n+12n2n+1
得3Sn＝3＋(3)＋(3)＋…＋(3)－n(3)＝－n()＝2[1－()]－n(2333)
1－3
22
∴ Sn＝6[1－(3)n]－3n(3)n+1＜6
要使得|b1|＋|b2|＋…＋|bn|＜m对于n∈N恒成立，只须m≥6 …14分
＊
kx1?x22k2x1?x2?x1x2?()?2时等号成24，当且仅当5．（本小题满分14分）解：（1）
k2(0,]4．……5分 立，故u的取值范围为
（2）解法一（函数法） (xx111?x1)(?x2)??x1x2?1?2 x1x2x1x2x2x12x12?x21k2?1k2?1?x1x2???x1x2??2?u??2……6分
x1x2x1x2x1x2uk2?1k2k2f(u)?u??22∴ ……7由0?u?，又k?1，k?1?0，在(0,]上是增函数，u44分
222kk?1k42k211???2??2??(?)k?122所以(?x1)(?x2)?u??24k4kk2
x1x2u42即当k?1时不等式(11k2?x1)(?x2)?(?)2成立． ………9分 x1x22k解法二（不等式证明的作差比较法）
11k22x1x24k21(?x1)(?x2)?(?)??x1x2???2??2 x1x22kx1x2x2x1k4x1x2k2?4x1x2k2?4x1x2(x1?x2)214k2???(?x1x2)?(??2)???， x1x2k24x2x1k2x1x24x1x2将k?4x1x2?(x1?x2)代入得
2211k22(x1?x2)2(4?k2x1x2?4k2)(?x1)(?x2)?(?)?， ……6分 x1x22k4k2x1x2∵(x1?x2)?0，k?1时4?kx1x2?4k?4(1?k)?kx1x2?0，
2222211k22(x1?x2)2(4?k2x1x2?4k2)(?x)(?x)?(?)成?0∴k?1，即当时不等式122xx2k4kx1x212立．……………9分
（3）解法一（函数法）
22111?kk2k2记(?x1)(?x2)?u??2?f(u)，则(?)?f()，
x1x2u2k2k2k2即求使f(u)?f()对u?(0,]恒成立的k的范围． …………10分
44由（2）知，要使(11k2?x1)(?x2)?(?)2对任意(x1,x2)?D恒成立，必有0?k?1， x1x22k1?k2因此1?k?0，∴函数f(u)?u??2在(0,1?k2]上递减，在[1?k2,??)上递
u2增，………12分
k2k2k2 要使函数f(u)在(0,]上恒有f(u)?f()，必有即k4?16k2?16?0，?1?k2，
444解得0?k2?45?8． ……………14分
解法二（不等式证明的作差比较法）
11k22(x1?x2)2(4?k2x1x2?4k2)由(2)可知(?x1)(?x2)?(?)?，
x1x22k4k2x1x2要不等式恒成立，必须4?kx1x2?4k?0恒成立， …………10分
224?4k2 …………11分 即x1x2?恒成立，2kk2k24?4k2由0?x1x2?得，即k4?16k2?16?0， …………13分 ?244k解得0?k2?45?8． 因此不等式(分
11k2?x1)(?x2)?(?)2恒成立的k2的范围是0?k2?45?8． ……14x1x22ka2?b22c6?，故有a2?3b2。从6、解：(1）设椭圆的焦距为2c,因为?，所以有23a3a而椭圆C的方程可化为：x?3y?3b ① ………2分 易知右焦点F的坐标为（2b,0），
据题意有AB所在的直线方程为：y?x?2b ② ………3分 由①，②有：4x?62bx?3b?0 ③
设A(x1,y1),B(x2,y2)，弦AB的中点N(x0,y0)，由③及韦达定理有：
22222x0?x1?x232b2?,y0?x0?2b??b. 244所以KON?分
y01??，即为所求。 ………5x03(2）显然OA与OB可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，对于这一