平面内的向量OM，有且只有一对实数?,?，使得等式OM??OA??OB成立。设
M(x,y)，由1）中各点的坐标有：
(x,y)??(x1,y1)??(x2,y2)，所以
x??x1??x2,y??y1??y2。 ………7
分
又点在椭圆C上，所以有(?x1??x2)2?3(?y1??y2)2?3b2整理为
?2(x12?3y12)??2(x22?3y22)?2??(x1x2?3y1y2)?3b2。 ④
32b3b2由③有：x1?x2?。所以 ,x1?x2?24x1x2?3y1y2?x1x2?3(x1?2b)(x2?2b)?4x1x2?32b(x1?x2)?6b2?3b?9b?6b?02222222 ⑤
又A﹑B在椭圆上，故有(x1?3y1)?3b2,(x2?3y2)?3b2 ⑥ 将⑤，⑥代入④可得：????1。 ………11分 对于椭圆上的每一个点M，总存在一对实数，使等式OM??OA??OB成立，而
22?2??2?1
在直角坐标系x?o?y中，取点P（?,?），设以x轴正半轴为始边，以射线OP为终边的角为?，显然 ??cos?,??sin?。
也就是：对于椭圆C上任意一点M ，总存在角?（?∈R）使等式：OM＝cos?OA＋sin?OB成立。
7、（1）解法一：设M(x,y),则由题设得|MF|?|y?2|?1，
即
…………1分
x2?(y?1)2?|y?2|?1
222当y??2时,x?(y?1)?y?1,化简得x?4y；
…………3分 …………4分
22当y??2时,x?(y?1)??y?3,
化简得x2?8y?8与y??3不合 故点M的轨迹C的方程是x2?4y
…………5分
（1）解法二：?点M到点F(1,0)的距离比它到直线l:y??2的距离小于1，
∴点M在直线l的上方，
点M到F（1，0）的距离与它到直线l?:y??1的距离相等 ?点M的轨迹C是以F为焦点,l?为准线的抛物线所以曲线C的方程为x2?4y
…………5分 …………3分
（2）当直线m的斜率不存在时，它与曲线C只有一个交点，不合题意，
设直线m的方程为y?2?k(x?2),即y?kx?(2?2k)， 代入x?4y得x?4kx?8(k?1)?0 （☆）
22…………6分
??16(k2?2k?2)?0对k?R恒成立,所以,直线m与曲线C恒有两个不同的交点
设交点A，B的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2)， 则x1?x2?4k,x1x2?8(k?1)
①由AP??PB,且??1得点P是弦AB的中点，
…………7分
?x1?x2?4,则4k?4,得k?1?直线m的方程是x?y?0
…………9分
②?|AB|?(x2?x1)2?(y2?y1)2?(1?k2)[(x2?x1)2?4x2x1]?4(1?k2)(k2?2k?2) 点O到直线m的距离d?|2?2k|1?k2，
?S?ABO?分
1|AB|?d?4|k?1|k2?2k?2?4(k?1)4?(k?1)2…………102?S?ABO?42,?4(k?1)4?(k?1)2?42，
?(k?1)4?(k?1)2?2?0,(k?1)2?1或(k?1)2??2（舍去）
?k?0或k?2
当k?0时,方程（☆）的解为?22 若x1?22,x2??22,则??…………12分
2?22?22?12?2222?2?3?22
若x1??22,x2?22,则???3?22
…………13分
当k?2时,方程（☆）的解为4?22 若x1?4?22,x2?4?22,则???2?222?22?2?222?22?3?22
若x1?4?22,x2?4?22,则?? 所以，??3?22或??3?22
?3?22
…………14分
8、解：（1）?点Pn(n,Sn)都在函数f(x)?x?2x的图像上，?Sn?n2?2n(n?N*),
当n?2时，an?Sn?Sn?1?2n?1.
当ｎ＝1时，a1?S1?3满足上式，所以数列{an}的通项公式为an?2n?1.…….3分 （2）由f(x)?x?2x求导可得f(x)?2x?2
2‘2?过点Pn(n,Sn)的切线的斜率为kn，?kn?2n?2.
?bn?2knan＝4?(2n?1)?4n.
?Tn?4?3?41?4?5?42?4?7?43????+4?（2n?1)?4n①
由①×4，得
4Tn?4?3?42?4?5?43?4?7?44????+4?（2n?1)?4n?1②
①-②得：
23nn?1??3Tn?4?3?4?2?4?4????+4-（2n?1)?4????
2??4（1?4n?1）?4?3?4?2?-（2n?1)?4n?1?
1?4???Tn?6n?1n?216?4?………………………………………………………………..7分 99?? （3）?Q?{xx?2n?2,n?N},R?{xx?4n?2,n?N},?Q?R?R.
又?cn?Q?R，其中c1是Q?R中的最小数，?c1?6.
??cn?是公差是4的倍数，?c10?4m?6(m?N*).
又?110?c10?115，??所以c10?114，
设等差数列的公差为d，则d＝?110?4m?6?115?m?N*,解得ｍ＝27.
c10?c1114?6＝＝12，
10?19?cn?6?(n?1)?12?12n?6，所以?cn?的通项公式为cn?12n?6…………12分
9、解：①?Sn?1?3Sn?2Sn?1?1?0?Sn?1?Sn?2(Sn?Sn?1)?1
?an?1?2an?1(n?2) ---------2分 又a1?,a2?2也满足上式，?an?1?2an?1(n?N*)?an?1?1?2(an?1)（n?N*）
321?数列?an?1?是公比为2，首项为a1?1?的等比数列 ----------- 4分
21an?1??2n?1?2n?2 -------------- 6分
2②Sn?a1?a2?...?an??2?1?1???20?1???21?1??...??2n?2?1?
②Sn?a1?a2?...?an
?2?1?1?20?1?21?1?...?2n?2?1 ?2?2?2?...2???0??n?2?????11?2n?1?n -------------（9分） ?n ?21S?n2?12n?2 ---------------（12分） 于是limn?limn?1?limx??x??2an?2x??1?222nn1?10、解：（1）令x?111的f()? 22411111n?1) 令x?得f()?f(1?)??f()?f(nnn2nn1n?1)?f(1) （2）an?f(0)?f()???f(nnn?11)???f()?f(0)，两式相加 又an?f(1)?f(nn1n?12an?[f(0)?f(1)]?[f()?f()]???[f(1)?f(0)]
nnn?1?
2n?1an?(n?N*)
41an?1?an?,故数列{an}是等差数列
4（3）bn?44an?1?4 n111????2232n2
22Tn?b12?b2???bn?16(1??16[1?111????) 1?22?3n(n?1)
11111?16[1?(1?)?(?)???(?)]
223n?1n1?16(2?)
n16?32??SnTn?Sn
n
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