湖北十堰职业技术（集团）学校 胡锐
单元四 基本体及其截断体的投影
项目描述：
任何机体，不管其形状多么复杂，都可以看成是由圆柱、圆锥、圆球、棱柱、棱锥等单一几何形体(基本体)按一定方式组合而成，它们是构成形体的基本单元。本项目中通过介绍各种基本几何体及截断体的投影特征，学习基本几何体的画法及表面取点方法；学习基本几何体及截断体尺寸标注方法。
项目目标：
1、掌握平面立体和曲面立体的种类及其三视图画法。 2、掌握平面立体和圆柱体表面取点、取线的作图方法。 3、能正确、完整的标注基本及其切口穿孔的尺寸。 4、掌握截切基本体交线的画法。
能力目标：
1、学会运用投影原理分析基本体及其三视图。 2、培养运用投影原理绘制基本体三视图的能力。 3、掌握基本几何体表面求点方法。
任务一 平面立体
根据表面性质的不同，基本体分为平面立体和曲面立体两类。立体表面全部由平面所围成的立体， 称为平面立体。如棱柱和棱锥等。
图4-1 基本体组成的机体
一、六棱柱三视图及斜截六棱柱的三视图画法
棱柱由两个底面和棱面组成，棱面与棱面的交线称为棱线，棱线互相平行。棱线与底面垂直的棱柱称为正棱柱。图4-2a所示为一正六棱柱。由上、下两个底面（正六边形）和六个棱面（长方形）组成。设将其放置成上、下底面与水平投影面平行，并有两个棱面平行于正投影面面。
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(a) (b) 立体图 (c)投影图
图4-2 正六棱柱投影及表面上的点的三视图
1． 六棱柱的三视图分析
上、下两底面均为水平面，它们的水平投影重合并反映实形，正面及侧面投影积聚为两条相互平行的直线。六个棱面中的前、后两个为正平面，它们的正面投影反映实形，水平投影及侧面投影积聚为一直线。其他四个棱面均为铅垂面，其水平投影均积聚为直线，正面投影和侧面投影均为类似形。
(1)俯视图 六棱柱的俯视图是正六边形，是六棱柱顶面和底面的重合投影，反映顶、底面的实形。正六边形的六条边是六个侧面垂直于顶、底面的积聚性投影。
(2)主视图 六棱柱的主视图由三个矩形线框组成。中间的矩形线框为前、后侧面的重合投影，反映实形。左、右两个窄的矩形线框分别为六棱柱其余四个侧面的投影，由于它们不与正面平行，因此不反映实形，是类似形。 主视图上、下两条图线是顶面和底面的具有积聚性的投影。
(3)左视图 六棱柱的左视图由两个大小相等的矩形线框组成。两个矩形线框分别是棱柱左、右两边四个侧面的重合投影，为缩小的类似形。左视图上下两条图线是棱柱顶、底面积聚性的投影，左右两条边直线为前、后侧面积聚性的投影。
正棱柱的投影特征：当棱柱的底面平行某一个投影面时，则棱柱在该投影面上投影的外轮廓为与其底面全等的正多边形，而另外两个投影则由若干个相邻的矩形线框所组成。
2． 六棱柱的三视图作图步骤
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(a) 画俯视图 (b)根据六棱柱高，按投影 (c)根据主、俯视图，按投影关系画出
关系画出主视图 左视图 图4-3 正六棱柱三视图的作图步骤
3.棱柱表面的点的投影
方法：利用点所在的面的积聚性法。（因为正棱柱的各个面均为特殊位置面，均具有积聚性。） 平面立体表面上取点实际就是在平面上取点。首先应确定点位于立体的哪个平面上，并分析该平面的投影特性，然后再根据点的投影规律求得。
［例4-1］如图4－2（c）所示，已知棱柱表面上点M的正面投影m′，求作它的其他两面投影m、m″。因为m′可见，所以点M必在面ABCD上。此棱面是铅垂面，其水平投影积聚成一条直线，故点M的水平投影m必在此直线上，再根据m、m′ 可求出m″。由于ABCD的侧面投影为可见，故m″ 也为可见。
注意：点与积聚成直线的平面重影时，不加括号。 4.斜截六棱柱的三视图
［例4-2］如图4-4所示，画出正垂面斜切六棱柱的三视图
(a)
图4-4 截切六棱柱三视图
(b)
分析：六棱柱被正垂面斜切，截交线是六边形，其六个顶点是六条侧棱与截平面的交点。六边形的正面投影与截平面的正面投影重合；水平投影则重合于棱柱的俯视图上。由六边形各顶点的水平投影及正面投影求得其侧面投影，依次连接各点的侧面投影即得截交线的侧面投影。 二、三棱锥三视图及截切圆锥体交线的画法
1．三棱锥的三视图分析
棱柱的底面为多边形，各侧面为若干个具有公共顶点的三角形。从棱柱顶点到底面的距离叫做棱锥的高。当棱的底面为正多边形，各侧面是全等的等腰三角形时，称为正棱锥。。如图4－5（a）所示为一正三棱锥，它的表面由一个底面（正三边形）和三个侧棱面（等腰三角形）围成，设将其放置成底面与水平投
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影面平行，并有一个棱面垂直于侧投影面。
(a) (b)立体图 (c)投影图
图4-5 三棱柱投影及表面上的点的三视图
(1)俯视图 三棱锥的底面△ABC是水平面，其水平投影反映实形。由于是正三棱锥，所以锥顶S的水平投影s位于底面三角形的中心上。三条侧棱线把△abc分成三个等腰三角形，分别是棱锥△SAC、△SBC、△SAB三个棱面的投影，水平投影是类似形，都不反映实形。
(2)主视图 棱锥的底面的正面投影积聚成水平方向的直线a?b?c?，其水平投影反映实形。由于棱锥的三个棱面△SAB、△SBC、△SAC都是侧垂面，因此正面投影是类似形，都不反映实形。
(3)左视图 棱锥的底面的侧面投影仍积聚成水平方向的直线a??b??c??，棱面△SAC的侧面投影积聚成直线s??a??(c??)。另两个棱面△SAB、△SBC对称，其侧面投影是重合的，但不反映实形。棱线SB的投影s??b??反映实长。
注意：正三棱锥的左视图不是一个等腰三角形
正棱锥的投影特征：当棱锥的底面平行某一个投影面时，则棱锥在该投影面上投影的外轮廓为与其底面全等的正多边形，而另外两个投影则由若干个相邻的三角形线框所组成。
2． 三棱锥的三视图作图步骤
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(a) 画俯视图 (b)根据六棱柱高，按投影 (c)根据主、俯视图，按投影关系画出
关系画出主视图 左视图 图4-6 三棱锥三视图的作图步骤
3. 棱锥表面上点的投影
方法：1）利用点所在的面的积聚性法。
2）辅助线法。
首先确定点位于棱锥的哪个平面上，再分析该平面的投影特性。若该平面为特殊位置平面，可利用投影的积聚性直接求得点的投影；若该平面为一般位置平面，可通过辅助线法求得。
［例4-3］如图4－5（c）所示，已知正三棱锥表面上点M的正面投影m′ 和点N的水平面投影n，
求作M、N两点的其余投影。
因为m′ 可见，因此点M必定在△SAB上。△SAB是一般位置平面，采用辅助线法，过点M及锥顶点
S作一条直线SK，与底边AB交于点K。图4－5中即过m′ 作s′ k′，再作出其水平投影sk。由于点M属于直线SK，根据点在直线上的从属性质可知m必在s k上，求出水平投影m，再根据m、m′ 可求出m″。
因为点N不可见，故点N必定在棱面△SAC上。棱面△SAC为侧垂面，它的侧面投影积聚为直线段s″a″
（c″），因此n″ 必在s″a″（c″）上，由n、n″ 即可求出n′。 4.斜截四棱台的三视图
［例4-4］如图4－7（a）所示，求作正垂面P斜切正四棱台的截交线。
(a) (b)
图4-7 截切四棱台三视图
分析：截平面与棱锥的四条棱线相交，可判定截交线是四边形，其四个顶点分别是四条棱线与截平面的交点。因此，只要求出截交线的四个顶点在各投影面上的投影，然后依次连接顶点的同名投影，即得截交线得投影。
当用两个以上平面截切平面立体时，在立体上会出现切口、凹槽或穿孔等。作图时，只要作出各个截平面与平面立体的截交线，并画出各截平面之间得交线，就可作出这些平面立体的投影。