图4-1
塑性应变有下列特性：
（1）总应变分为弹性和塑性两部分，即
ep??ij (4-2) ?ij??ij或者：
ep?d?ij (4-3) d?ij?d?ij（2）塑性变形取决于加载路径，而应力应变之间没有一一对应的关系。所以必须确定二则之间的本构关系，这种本构关系可以用偏微分方程或者增量形式来描述。 总之，弹塑性理论主要包括以下几个方面： （1）应变张量的分解； （2）应力空间的屈服条件； （3）流动法则； （4）强化法则； （5）协调性条件。 1：本构模型
塑性力学的应力-应变曲线通常有5种简化模型[8]：
（1）理想弹塑性模型，用于低碳钢或强化性质不明显的材料。 （2）线性强化弹塑性模型，用于有显著强化性质的材料。
（3）理想刚塑性模型，用于弹性应变比塑性应变小得多且强化性质不明显的材料。 （4）线性强化刚塑性模型，用于弹性应变比塑性应变小得多且强化性质明显的材料。
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（5）幂强化模型，为简化计算中的解析式，可将应力-应变关系的解析式写为 σ＝σy（ε／εy）n，式中σy为屈服应力，εy为与σy相对应的应变，n为材料常数。
图4-2 2：屈服条件
在复杂应力状态下，判断物体屈服状态的准则称为屈服条件[9]。屈服条件是各应力分量组合应满足的条件。对于金属材料，最常用的屈服条件为最大剪应力屈服条件（又称Tresca屈服条件）和弹性形变比能屈服条件（又称Von Mises条件）。对于岩土材料则常用Tresca屈服条件、Drucker-Prager屈服条件和Mohr-Coulomb屈服条件。对于强化或软化材料，屈服条件将随塑性变形的增长而变化，改变后的屈服条件称为后继屈服条件。当已知主应力的大小次序时，使用Tresca屈服条件较为方便；若不知道主应力的大小次序，则使用Von Mises屈服条件较为方便。对于韧性较好的材料，Von Mises屈服条件与试验数据符合较好。
Von Mises屈服准则具体形式是，对于各项同性材料，应力偏量第二不变量J2等于某一定值时，材料开始进入了塑性状态。
F?3J2??y(k)?0 (4-4)
3：强化法则
对理想的弹塑性材料而言，因无强化作用，所以，整个塑性变形过程中，屈服函数值保持一个常量，强化定义了屈服面在应力空间的演化准则。
f(?ij,k)?0
(4-5)
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其中，k是强化参数。
通常采用的强化法则有以下几种： (1) 各向同性强化
此法则规定材料进入塑性变形以后，加载曲面在各方向均匀的向外扩张，没有畸变。而其形状、中心及其在应力空间的方位均保持不变[10]。需要指出的是：各向同性强化法则主要适用于单调加载情况。如果用于卸载情况，它只适合反向屈服应力等于应力反转点的材料，而通常材料不具备这种性质，因此在塑性力学中还发展了其它强化准则。 (2) 随动强化
此法则规定材料进入塑性状态以后，加载曲面在应力空间作刚体移动而没有转动，因此初始屈服面的形状、大小和方向仍然保持不变。 (3) 混合强化
把各向同性强化模型和随动强化模型加以组合，得到混合强化模型。它假定在塑性变形过程中，加载曲面不但作刚性平移，还同时在各个方向作均匀扩大。
在以上几种强化模型中，各向同性强化模型应用最为广泛。本文也是采用该硬化法则，这一方面是由于它便于进行数学处理；另一方面，如果在加载过程中应力方向（或各个应力分量的比值）变化不大，采用各向同性强化模型的计算结果与实际情况也比要符合。随动强化模型可以考虑材料的包兴格（Bauschinger）效应，在循环加载或可能出现反向屈服的问题中，需要采用这种模型。
由于塑性变形与变形历史有关， 因此反映塑性应力-应变关系的本构关系用应变增量形式给出比较方便。用应变增量形式表示塑性本构关系的理论称为塑性增量理论。增量理论的本构关系在理论上是合理的，但应用比较麻烦，因为要积分整个变形路径才能得到最后结果。因此，又发展出塑性全量理论，即采用全量应力和全量应变表示塑性本构关系的理论。在比例变形的条件下，可通过积分增量理论的本构关系获得全量理论的本构关系。当偏离比例变形条件不多时，全量理论的计算结果和实险结果比较接近。本文的程序都是基于增量理论。
4.2. 非线性有限元算法理论
对于非线性问题，在有限元求解该问题时，对一个自由度总可以表达成
H??f?0，式中，?为基本未矢量。如果是线性问题，H与?无关，而?是一次项，
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显然这是一个线性方程。如果H与?相关，则方程的?出现非一次项，变成非线性问题，在实际工程中，特别是塑性成型问题，材料的几何方程，本构方程以及边界条件往往是非线性的也体现在K中出现了?，所以变为了非线性问题，要得到最基本的未知量，就必须求解非线性方程组 1：直接迭代法
又称常刚度法[11]，这是种最简.单的求解方法，在每次求解前，利用上次的?解来求出这一次的H值，然后利用f和H的倒数的乘积求出?的当前值
???H(?)?1f (4-6)
表达为迭代形式
(n?1)n?1??H(?)f (4-7) ?上式可以看出，这种方法首先需要有一个初始的?值，以便开始迭代。另外，每一次求解都需要对H求倒数，如果求解方程组，就是对刚度矩阵求逆，这种方法在求解中控制两次求解?之差，当其值很小时，就认为接近真实值了，迭代结束
图4-3
2：Newton-Raphson方法
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Newton-Raphson方法的算法与常刚度法不同[12]，如果?得近似表达式H??f?0是不成立的，存在着残余值，即H??f?0，此式也可以作为近似值与真实值的差值量度，实际上在具体计算时，也可以控制其值，当??H??f?0极小时，就认为?接近真实值了，当第n?1次迭代的?值
?n?1?????是真实解，则可以按照Taylor级数展开得到
nn?(?n?1)??(?)?(nd?d?)???0nn
?????(?)/(nnd?d?)???(?)/(nnH(?)?d?nn)???(?)/(H(?)??H(?))nnnnn
图4-4
3：切线刚度法
在复杂非线性问题求解中，刚度H与?的大小是有一定关系的，在用增量法来求解这种问题时，H就等于结构任一点处力与位移的曲线的局部梯度，称为切线刚度[13]，刚度矩阵的倒数很难用自变量显示表达，通过增量方式求解，在每一步荷载增量范围内把问题线性化，求解方法与Newton-Raphson方法相同
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