总结以上可以得到：
以上几种算法中，通过比较，不难发现，直接迭代法采用了固定的刚度，适合解决非线性程度不高的本构关系，而切线刚度法采用了变化的刚度，在每一步上都做了实时的修正，对非线性程度较高本构关系任然有效，在效率和迭代精度方面，切线刚度法采用的修正更符合非线性材料的应力应变关系，具有较大的优势，这也是本文采用切线刚度法计算的原因，当然，非线性有限元算法还有很多，切线刚度法也不见得就是最好的能解决所有问题的算法，但是它是在程序开发难度不高和精度方面较高的条件下相对来说最好的
本文采用的本构关系是同性硬化弹塑性模型[14]，采用Mises屈服准则，下面将根据J2理论[15]，分别推导常刚度法和切线刚度法计算该问题的的算法公式
4.3. 增量理论常刚度法公式推导
由应力应变关系得：
d{?}?d{?}e?d{?}p (4-8)
(4-9)
d{?}?[D]e(d{?}?d{?}p)其中
[D]e是弹性矩阵，它的表达式为
??????????????1?2??2(1??)??
?1????1??????1??E(1??)?De?(1??)(1?2?)?0???0???0??d{?}p1对10001?2?2(1??)001?2?2(1??)0称?1??000是塑性应变增量，它的表达式为
???{?}
d{?}p?d?p
20
d?p其中为等效塑性应变增量，它的表达式为
{??}[D]eTd?p??{?}d{?}????'TH?{}[D]e?{?}?{?}
[D]e???[D]e3[?x,?y,?z,2?xy,2?yz,2?zx]?'''T3G[?x,?y,?z,?xy,?yz,?zx]'''T????2??T([D]??T??????e????)????[D]e???????
H'为切线模量
对于3维空间问题，流动方向：
??''''''T?{?}?32?[?x,?y,?z,2?xy,2?yz,2?zx]
等效应力
??12{[(?x??y)2?(?2y??z)?(?2z??x)]}
应力偏量
?'x??x?(?x??y??z)/3?'y??y?(?x??y??z)/3?'z??z?(?x??y??z)/3?'xy??xy?'yz??yz?'zx??zx
4.4. 增量理论切线刚度法公式推导
本文采用的是一种切线刚度法，其应力应变关系为
d{?}?d{?}e?d{?}p d{?}?[D]e(d{?}?d{?}p) 21
(4-10)
(4-11)
{??}T3-14两端左右同乘 ?{?}，得到：
{??T??T?{?}}d{?}?{?{?}}[D]e(d{?}?d{?}p)
对于强化材料，Mises准则
d??{???{?}}Td{?}?H'd?p
代入可得
H'd??T]????p?{??{?}}[Ded??{?{?}}T[D]e?{?}d?p
其中，
d?p为等效塑性应变增量，它的表达式为
{??}T[D]ed?p??{?}d{H'?{???{?}}T[D]???}e?{?}
由于：
[D]??3'''T3G'''e?????[D]e2?[?x,?y,?z,2?xy,2?yz,2?zx]??[?x,?y,?z,?xy,?yz,?Tzx]T([D]??T??????e????)?????????[D]e??
由流动法则可知
d{?}p?d???p?{?}
应用上式得
??[D]????T?ed{?}??[D]?{?}{?{?}}[D]e??e??d{?H'?{??}T???}???{?}[D]e?{?}??
所以得到
d{?}?[D]epd{?} 这就是切线刚度法的矩阵表达式
22
(4-12)
[D]ep其中为弹塑性矩阵，在ABAQUS里面称为雅可比矩阵，它的表达式为
[D]ep?[D]e?[D]p
其中[D]e是弹性矩阵，它的表达式为
?1????1??1对????1??1称DE(1??)?1???e?(1??)(1?2?)??0001?2?2(1??)???00001?2?2(1??)???00000?Dp为塑性矩阵，它的表达式为
[D]??e{??}T[D]e[D]?{?}?{?}p?H'?{???{?}}T[D]??e?{?}
对于3维空间问题
流动方向
??3''?{?}?2?[?x,?y,?'''Tz,2?xy,2?yz,2?'zx]
所以
??'2??x''?'2???x?yy对?2?[D]9G?'x?'y?''y?z?'2z称?p?(H'?3G)?2???''x?xy?''?''?y?xyz?xy?'2xy???'?'?xyz?''?'''''2y?yzz?yz?xy?yz?yz????'x?'zx?'y?'zx?''z?zx?'xy?'zx?''yz?zx?'2?zx??
最后推导可得，弹塑性矩阵的表达式
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?????????????1?2???2(1??)??
[D]ep?1??'2???x?1?2????'????yx?1?2???1??'????zxE?1?2???1???''????xyz??''????z?yz??''????z?zx?1??1?2????''2y对'?1?2????y?z''1??1?2????z'''2称12???xy'''2???y?xy???y?yz???y?zx''''???z?xy???z?yz???z?zx''''???xy?yz???xy?zx''12???yz'''2???xy?zx???????????????1'2???zx?2?
其中
??9G2?(H?3G)2'G?E2(1??
)H为切线模量，对本构关系求导得到
'H?'d?d?p
总结推导过程：上面的推导过程看似复杂，其实核心的问题只有一个，即两者对于塑性阶段应力更新的算法不同。 常刚度法采用的是：
d{?}?[D]e(d{?}?d{?}p)
而切线刚度法采用的是：
d{?}?[D]epd{?}
把握好了两者的本质上的区别，对于两者的算法设计和程序开发问题便迎刃而解
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