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常见的圆系方程有如下几种：
1、以(a,b)为圆心的同心圆系方程：(x?a)2?(y?b)2??2(??0)
与圆x2?y2＋Dx＋Ey＋Ｆ＝０同心的圆系方程为：x2?y2＋Dx＋Ey＋?＝０
2、过直线Ax＋By＋Ｃ＝０与圆x2?y2＋Dx＋Ey＋Ｆ＝０交点的圆系方程为：x2?y2＋Dx＋
Ey＋Ｆ＋?（Ax＋By＋Ｃ）＝０（??Ｒ）
3、过两圆C21:x?y2＋D1x?E1y?F21＝0，C2:x?y2＋D2x?E2y?F2＝０交点的圆系方程为：
x2?y2＋D1x?E1y?F1＋?（x2?y2＋D2x?E2y?F2）＝0（?≠-１，此圆系不含C2:x2?y2＋D2x?E2y?F2＝０）
特别地，当?＝－１时，上述方程为根轴方程．两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程．
注：为了避免利用上述圆系方程时讨论圆C2，可等价转化为过圆C1和两圆公共弦所在直线交点的圆系方程:x2?y2?D1x?E1y?F1??[(D1?D2)x?(E1?E2)y?(F1?F2)]?0 1、利用圆系方程求圆的方程：
例1 求经过两圆x2
+y2
+6x-4=0和x2
+y2
+6y-28=0的交点，并且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程。 解一：求出两交点（-1,3）（-6,-2），再用待定系数法：1．用一般式； 2．用标准式。
（注：标准式中可先求圆心的两个坐标，而圆心正好在两交点的中垂线上。）
解二：用两点的中垂线与直线的交点得圆心： 1．两交点的中垂线与直线相交；
2．过圆心与公共弦垂直的直线与直线相交； 3．两圆心连线与直线相交。
解三：利用圆系方程求出圆心坐标，圆心在直线方程上，代入直线方程求解。
例１、求经过两圆x2?y2＋3x－y－2＝０和3x2?3y2＋2x＋y＋１＝０交点和坐标原点的圆的
方程．
解：方法3：由题可设所求圆的方程为：
（x2?y2＋3x－y－2）＋?（3x2?3y2＋2x＋y＋１）＝０
∵ （0，0）在所求的圆上，∴ 有－2＋?＝０． 从而?＝２
故所求的圆的方程为： (x2?y2?3x?y?2)?2(3x2?3y2?2x?y?1)?0 即 7x2?7y2＋7x＋y＝０。 2、利用圆系方程求最小面积的圆的方程：
例2（1）：求过两圆x2?y2?5和(x?1)2?(y?1)2?16的交点且面积最小的圆的方程。
分析：本题若先联立方程求交点，再设所求圆方程，寻求各变量关系，求半径最值，虽然可行，但运算量较大。自然选用过两圆交点的圆系方程简便易行。为了避免讨论，先求出两圆公共弦所在直线方程。则问题可转化为求过两圆公共弦及圆交点且面积最小的圆的问题。 解：圆x2?y2?5和(x?1)2?(y?1)2?16的公共弦方程为2x?2y?11?0 过直线2x?2y?11?0与圆x2?y2?5的交点的圆系方程为
x2?y2?25??(2x?2y?11)?0，即x2?y2?2?x?2?y?(11??25)?0
依题意，欲使所求圆面积最小，只需圆半径最小，则两圆的公共弦必为所求圆的直径， 圆心(??,??)必在公共弦所在直线2x?2y?11?0上。即?2??2??11?0，则???114 代回圆系方程得所求圆方程(x?114)2?(y?11794)2?8 例２（2）; 求经过直线l：2
x＋y＋4＝０与圆Ｃ：x2?y2＋2x－4y＋1＝０的交点且面积最小的
圆的方程．
解：设圆的方程为：x2?y2＋2x－4y＋1＋?（2x＋y＋4）＝０ 即
x2?y2＋
2(1??)x?(??4)y＋（1＋4
?）＝０则
r2?14?4(1??)2?(??4)2?4(1?4?)??58484(??5)2?5，当?＝5时，r2最小，从而圆的面积最
小，故所求圆的方程为：5x2?5y2＋26x－12y＋37＝０ 练习：
6
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1．求经过圆x2
+y2
+8x-6y+21=0与直线x-y+7=0的两个交点且过原点的圆的方程。（常数项为零） 2．求经过圆x2
+y2
+8x-6y+21=0与直线x-y+5=0的两个交点且圆心在x轴上的圆的方程。（圆心的纵坐标为零）
3．求经过圆x2
+y2+8x-6y+21=0与直线x-y+5=0的两个交点且面积最小的圆方程。（半径最小或圆心在直线上）
4．求经过圆x2
+y2+8x-6y+21=0与直线x-y+5=0的两个交点且与x轴相切的圆的方程；并求出切点坐标。（圆心到x轴的距离等于半径） 3、利用圆系方程求参数的值：
例3：已知圆x2?y2?x?6y?m?0与直线x?2y?3?0相交于P，Q两点，O为坐标原点，若
OP?OQ，求实数m的值。
分析：此题最易想到设出P(x1,y1),Q(x2,y2)，由OP?OQ得到x1x2?y1y2?0，利用设而不求的思想，联立方程，由根与系数关系得出关于m的方程，最后验证得解。倘若充分挖掘本题的几何关系
OP?OQ，不难得出O在以PQ为直径的圆上。而P，Q刚好为直线与圆的交点，选取过直线与圆交点
的圆系方程，可极大地简化运算过程。
解：过直线x?2y?3?0与圆x2?y2?x?6y?m?0的交点的圆系方程为：
x2?y2?x?6y?m??(x?2y?3)?0，即
x2?y2?(1??)x?2(??3)y?m?3??0???????.① 依题意，O在以PQ 为直径的圆上，则圆心(?1??2,3??)显然在直线x?2y?3?0上，则?1??2?2(3??)?3?0，解之可得??1又O(0,0)满足方程①，则m?3??0，故m?3。
4、利用圆系方程判断直线与圆的位置关系：
例4 圆系x2?y2＋2kx＋（4k＋10）y＋10k＋20＝０（k?Ｒ，k≠-１）中，任意两个圆的位置关系如何？
解：圆系方程可化为：x2?y2＋10y＋20＋k（2x＋4y＋10）＝０ ∵ 与k无关 ∴ ??2x?4y?10?0x?2y?5?0?x2?y2?10y?20?0 即???x2?(y?5)2?5
易知圆心（０，-５）到直线x＋2y＋5＝０的距离恰等于圆x2?(y?5)2＝５的半径．故直线x＋2y＋5＝０与圆x2?(y?5)2＝５相切，即上述方程组有且只有一个解，从而圆系方程所表示的任意两个圆有且只有一个公共点，故它们的关系是外切或内切．
总结：在求解过直线与圆，圆与圆交点的圆有关问题时，若能巧妙使用圆系方程，往往能优化解题过程，减少运算量，收到事半功倍的效果。
1.如果圆的方程为x2?y2?kx?2y?k2?0，那么当圆面积最大时，圆心坐标为（ ）．
A．(?1，1) B．(1，?1) C．(?1，0) D．(0，?1) 2.点（2a,a?1）在圆x2?y2?2y?4?0的内部，则a的取值范围是 ． 3.若a?R，则动圆x2?y2?2ax?4ay?5a2?1?0的圆心满足的方程为（ ）
A．x2?y2?1 B．x2?y2?2
C．y?2x?0 D．x?2y?0
5.设k?0，则动圆(x?k)2?(y?2k)2?9的圆心的轨迹恒过点（ ）
A．(1,2) B．(?1,?2) C．(2,1) D．(?2,?1)
6.方程x2?y2?4mx?2y?5m?0表示圆的充要条件是（ ）
A．
14?m?1 B．m?1 C．m?14 D．m?14或m?1
7.已知圆C的圆心是直线??x?1,（?y?1?tt为参数）与x轴的交点，且圆C与直线x?y?3?0相切，则
圆C的方程为
8.若圆心在x轴上，半径为2的圆O位于y轴左侧，且与直线x?y?0相切，则圆O的方程是 ．
【例1】 已知圆M:(x?cos?)2?(y?sin?)2?1，直线l:y?kx，下面四个命题：
① 对任意实数k与?，直线l和圆M相切； ② 对任意实数k与?，直线l和圆M有公共点；
7
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③ 对任意实数?，必存在实数k，使得直线l与和圆M相切； ④ 对任意实数k，必存在实数?，使得直线l与和圆M相切． 其中真命题的代号是______________（写出所有真命题的代号）
【例2】 设直线系M:xcos??(y?2)sin??1(0≤?≤2π)，对于下列四个命题：
A．M中所有直线均经过一个定点
B．存在定点P不在M中的任一条直线上
C．对于任意整数n(n≥3)，存在正n边形，其所有边均在M中的直线上 D．M中的直线所能围成的正三角形面积都相等
其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）．
【例3】 设有一组圆Ck:(x?k?1)2?(y?3k)2?2k4(k?N*)．下列四个命题：
Ａ．存在一条定直线与所有的圆均相切 Ｂ．存在一条定直线与所有的圆均相交 Ｃ．存在一条定直线与所有的圆均不．相交 Ｄ．所有的圆均不．经过原点 其中真命题的代号是
．（写出所有真命题的代号）
专题二、直线与圆相交
求直线方程
1.若P?2,?1?为圆?x?1?2?y2?25的弦AB的中点，则直线AB的方程为 ．
直线经过点P????3，?3?2??被圆x2?y2?25截得的弦长为8，求此弦所在直线方程．
2.过点P(1,2)的直线将圆x2?y2?4x?5?0分成两个弓形，当这两个弓形面积之差最大时，这条直线的方程为（ ）
A． x?1 B． y?2 C． y?x?1 D． x?2y?3?0 3.过点(1,2)的直线l将圆(x?2)2?y2?4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率
k? ．
4.已知圆C:x2?y2?2x?4y?4?0，问最否存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点，若存在，写出直线方程；若不存在，说明理由．
5.直线l与圆x2?y2?2x?4y?a?0(a?3)相交于两点A，B，弦AB的中点为?0，1?，则直线l的方程为 ．
6.若过定点M(?1,0)且斜率为k的直线与圆x2?4x?y2?5?0在第一象限内的部分有交点，则k的取值范围是_________．
7.如果直线l将圆x2?y2?2x?4y?0平分，且不通过第四象限，那么直线l的斜率的取值范围是
________． 8.直线y?3??x?3?3cos?3x?2与圆心为D的圆?1?3sin?????0，2π??交与A、B两点，则直线AD与BD??y?的倾斜角之和为（ ） A．756π B．4π
C．43π
D．53π
弦长问题
1.直线x?2y?5?0与圆x2?y2?8相交于A、B两点，则AB?________．
2.已知P是圆O:(x?5)2?(y?5)2?16上的一点，关于点A(5,0)的对称点是Q，将半径OP绕圆心O依逆时针方向旋转90?到OR，求RQ的最值．
3.直线y?kx?3与圆?x?3?2??y?2?2?4相交于M，N两点，若MN≥23，则k的取值范围是 8
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A．????34，0???B．? ????，?3?4??∪?0，??? C．???3，3?D．??33??? ??25，0??? 4.直线2ax?by?1与圆x2?y2?1相交于A，B两点（其中a,b是实数），且?AOB是直角三角形（O是坐标原点），则点P?a,b?与点?0,1?之间距离的最大值为（ ）
A．2?1 B．2 C．2 D．2?1
5.过点P?2,0?与圆x2?y2?2y?3?0相交的所有直线中，被圆截得的弦最长时的直线方程是_________．
6.若直线2ax?by?2?0(a,b?0)始终平分圆x2?y2?2x?4y?1?0的周长，则1a?1b的最小值为____________．
7.直线x?2被圆（x?a）2?y2?4所截得的弦长等于23，则a的为 ．
8.已知圆C:(x?1)2?(y?2)2?25，直线l:(2m?1)x?(m?1)y?7m?4?0(m?R)．
⑴证明直线l与圆相交；
⑵求直线l被圆C截得的弦长最小时，求直线l的方程．
8.已知圆C的圆心与点P(?2，1)关于直线y?x?1对称．直线3x?4y?11?0与圆C相交于A，B两点，且|AB|?6，则圆C的方程为 ．
9.已知圆C:?x?1?2??y?2?2?25及直线l:?2m?1?x??m?1?y?7m?4(m?R)
⑴证明：不论m取什么实数，直线l与圆C恒相交；
⑵求直线l与圆C所截得的弦长的最短长度及此时直线l的方程．
10.已知圆C：?x?1?2?y2?9内有一点P(2，2)，过点P作直线l交圆C于A、B两点． ⑴当l经过圆心C时，求直线l的方程；
⑵当弦AB被点P平分时，写出直线l的方程； ⑶当直线l的倾斜角为45?时，求弦AB的长．
11.已知直线ax?by?c?0与圆O：x2?y2?1相交于A、B两点，且|AB|?3，则???OA?????OB?? ．
12.已知圆的方程为x2?y2?6x?8y?0．设该圆过点(3，5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边
形ABCD的面积为（ ）
A．106 B．206 C．306 D．406 13.直线x?2y?3?0与圆x2?y2?4相交弦中点M与点N(1,2)的距离为_______．
圆周角圆心角弧长面积 1.直线x?y?2?0截圆x2?y2?4所得劣弧所对圆心角为（ ） A．
π6 B．π3 C．π2π2 D．3 2.圆x2?y2?4被直线3x?y?23?0截得的劣弧所对的圆心角的大小为 ．
3.求过直线2x?y?4?0和圆x2?y2?2x?4y?1?0的交点，且满足下列条件之一的圆的方程．
⑴ 过原点； ⑵ 有最小面积．
4.某圆拱桥的水面跨度是20m，拱高为4m，现有一船宽9m，在水面以上部分高3m，故通行无阻．近日水位暴涨了1.5m，为此，必须加重船载，降低船身．当船身至少应降低 m时，船才能通过桥洞．（结果精确到0.01m）
5.若过定点M(?1，0)且斜率为k的直线与圆x2?4x?y2?5?0在第一象限内的部分有交点，则k的取值范围是（ ）
A．0?k?5
B．?5?k?0 C．0?k?13
D．0?k?5
6.求过直线x?3y?7?0与已知圆x2?y2?2x?2y?3?0的交点，且在两坐标轴上的四个截距之和为?8的圆的方程．
解答题
1.已知直线l:y?k?x?22??k?0?与圆O：x2?y2?4相交于A，B两点，O为坐标原点，?AOB的
面积为S．
⑴试将S表示为k的函数S?k?，并求出它的义域；⑵求S的最大值，并求出此时的k值．
2.已知点A(x1，y1)、B(x2，y2)(x1x2?0)是抛物线y2?2px(p?0)上的两个动点，O是坐标原点，向量9
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???OA?、???OB?满足???OA?????OB?????OA?????OB?．设圆C的方程为x2?y2?(x1?x2)x?(y1?y2)y?0．
⑴证明：线段AB是圆C的直径；
⑵当圆C的圆心到直线x?2y?0的距离的最小值为255时，求p的值．
3.已知两圆x2?y2?4x?2y?0和x2?y2?2y?4?0的交点分别为A、B，
⑴ 求直线AB的方程及线段AB的长；
⑵ 求经过A、B两点，且圆心在直线2x?4y?1上的圆的方程．
4.已知acos??bsin??c，acos??bsin??c，(ab?0,????kπ,k?Z)，求证：cos2????c22a2?b2．
5.直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，OA、OB的长分别是关于x的方程x2?14x?4(AB?2)?0的两个根(OA?OB)，P为直线l上异于A、B两点之间的一动点． 且PQ//OB交OA于点Q．
⑴ 求直线lAB斜率的大小；
⑵ 若S1?PAQ?3S四OQPB时，请你确定P点在AB上的位置，并求出线段PQ的长；
⑶ 在y轴上是否存在点M，使?MPQ为等腰直角三角形，若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
6.已知圆x2?y2?x?6y?m?0与直线l:x?2y?3?0相交于P、Q两点，O为原点，且OP?OQ，求实数m的值．
7.已知直线l:(2m?1)x?(m?1)y?7m?4，圆C:(x?1)2?(y?2)2?25，则m为任意实数时，l与C是否
必相交？若必相交，求出相交的弦长的最小值及此时m的值；若不一定相交，则举一个反例． 8.已知圆C和y轴相切，圆心在直线x?3y?0上，且被直线y?x截得的弦长为27，求圆C的方程．
解答题2
1、设A、B为圆x2?y2?1上两点，O为坐标原点（A、O、B不共线）
（Ⅰ）求证：???OA?????OB?与???OA?????OB?垂直.
（Ⅱ）当?xOA??,?xOB??,??(??????????44,4),且OA?OB??35时.求sin?的值.
2、四边形PMNQ为⊙O的内接梯形，圆心O在MN上，向量OM与PN的夹角为150°，QO?QM?6 （1）求⊙O的方程
4. 广东省梅州揭阳两市四校2008届高三第三次联考数学理科试卷
如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2，0)，AB边所在直线的方程为x?3y?6?0, 点T(?11)，在AD边所在直线上．
y （I）求AD边所在直线的方程；
C（II）求矩形ABCD外接圆的方程； T D M N O B x （III）若动圆P过点N(?2，0)，且与矩形ABCD的外A 接圆外
切，求动圆P的圆心的方程．
5. 江苏省如皋中学2007—2008学年度第二学期阶段考试高三数学（理科）
将圆x2?y2?2x?4y?0按向量a=（－1，2）平移后得到⊙O，直线l与⊙O相交于A、B两点，若在⊙
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