当3?x?4时,F(x)?P?X?x??P?X?3??0.1
当4?x?5时,F(x)?P?X?x??P?X?3??P?X?4??0.1?0.3?0.4, 当x?5时,F(x)?P?X?x??P?X?3??P?X?4??P?X?5??1,
x?3,?0,?0.1,3?x?4,?故知 F?x???
?0.4,4?x?5,?x?5.?1,P(X?2)?0.3，P(X?3)?0.5，2．已知随机变量X的概率分布为P(X?1)?0.2，
试求（1）X的分布函数；（2）P(0.5?X?2)；（3）画出F(x)的曲线.
?0,x?1?0.2,1?x?2?解：（1）F(x)?? ； （2）P(0.5?X?2)?0.5
?0.5,2?x?3??1,x?3（3）F(x)曲线：
3．设X表示某商店从早晨开始营业起到第一个顾客到达的等待时间(以分计),X的分
F(x)10.50.20123x?1?e?0.4x,x?0,布函数为F?x???求下
x?0.?0,:
?；（1）P?至多3分钟?；（2）P?至少4分钟?；（3）P?3分钟至4分钟之间（4）P?至多3分钟或至少4分钟?；（5）P?恰好2.5分钟?.解： (1) P{至多3分钟}?P{X?3} ?FX(3)?1?e?1.2
.
?1.6 (2)P{至少4分钟}?P{X?4}?1?P{X?4}?1?P?X?4??1?FX?4??e
}?P{3?X?4}?P{3?X?4}?FX(4)?FX(3) (3)P{3分钟至4分钟之间 6
?e?1.2?e?1.6
(4) P{至多3分钟或至少4分钟} ?P{(X?3)?(X?4)}
?P{X?3}?P{X?4} ?1?e(5) P{恰好2.5分钟}?P{X?2.5}?0
5．从家到学校的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的概率是相互独立的，且概率均是0.4，设X为途中遇到红灯的次数，试求（1）X的概率分布；（2）X的分布函数．
解：（简答）（1）这是n?3,p??1.2?e?1.6
2的重复独立实验，X的概率分布律为 523P(X?k)?C3k()k()3?k,k?0,1,2,3；
55列成表格
X 0 1 2 3 p 27 54 36 8 125125125125
（2）X的分布函数为
x?0,?0,?27,0?x?1,?125?81?F?x???,1?x?2,
?125?117,2?x?3,?125?x?3.?1,练习三 连续型随机变量及其概率密度
1. 填空
(1)设随机变量X在区间(1,6)上服从均匀分布,则关于t的方程t?Xt?1?0有实根的概率是45.
2(2)设随机变量X~N(2,?),且概率P?2?X?4?0.3?,则P?X?0?__0.2___. 22. 设X为连续型随机变量，其分布函数为
a,x?1,??F(x)??bxlnx?cx?d,1?x?e,试确定F(x)中的a,b,c,d的值。
?d,x?e.?解：因为F?????0,F?????1, 所以 a?0,d?1;
7
又由于F?x?为连续函数，则F?1?0??F?1?0?, F?e?0??F?e?0?,即
?bxlnx?cx?1?，a?lim lim??x?1x?1x?e?lim(bxlnx?x?1)?limd?x?e
于所有
0?c?1，be?e?1?1,
即 c??1,b?1.
3. 设连续型随机变量X的分布函数为
?A?Be?2x,F(x)??0,? x?0x?0
试求:（1）A,B的值；（2）P(?1?X?1)；（3）概率密度函数f(x). 解：（1）因为连续型随机变量X的分布函数F?x?是连续函数，因此有
F(??)?lim(A?Be?2x)?1,
x???即A?1.
又因为
x?0limF?x??lim(A?Be?2x)?F(0)?0,??x?0
所以 A?B?0,即B??A??1.
（2） P(?1?X?1)?F(1)?F(?1)?1?e
?2?2e?2x, （3） f(x)?F'(x)???0,x?0, x?0.4. 设连续型随机变量X的概率密度曲线如图所示.
试求:（1）t的值；(2）X的概率密度；(3）P(?2?X?2)；(4) 求X的分布函数
解：（简答） （1）? t o 1 2 3 x f (x) 0.5 11(?t)?0.5??0 .5?3?1 ?t??1 22 8
1?1x?,x?[?1,0),?22?1?1,x?[0,3), （2）f(x)???x?2?6其它.?0,??111111（3） P（?2?X?2)??(x?)dx??(?x?)dx?.
226212?10?0,?1211x?x?,??424(4) F(x)??111??x2?x?,24?12??1,x??1,?1?x?0,
020?x?3,x?3.5. 设连续型随机变量X的概率密度为f(x)??试确定常数a；并求P(X??).
6???sinx,0?x?a,
其他?0,解：因为
???0dx??sinxdx??0dx??sinxdx???cosx?0?1?cosa?1
a0a0??0?f(x)dx?1，则
a??a 即 cosa?0， 又f?x??0，所以a???2.
? P(X??62)??sinxdx???cosx???2?63 266. 设随机变量X服从[1,5]上的均匀分布，试求P(x1?X?x2). 如果 （1）x1?1?x2?5； （2）1?x1?5?x2.
?1?,1?x?5,解：X的概率密度为f?x???4
?其它.?0,x2（1）P(x1?X?x2)?（2）P(x1?X?x2)?
11dx?(x2?1)； ?44111dx?(5?x1). ?44x157. 假设某地在任何长为t(年)的时间间隔内发生地震的次数N(t)服从参数为
??0.1t的Poisson分布，X表示连续两次地震之间相隔的时间（单位：年），试求:
9
（1）证明X服从指数分布并求出X的分布函数； （2）今后3年内再次发生地震的概率；
（3）今后3年到5年内再次发生地震的概率。
解：（1）当t?0，且X?t时，发生地震的次数N(t)?0，则
e?0.1t?0.1t?P(X?t)?P(N(t)?0)??e?0.1t
0!0所以 F(t)?P(X?t)?1?P(X?t)?1?e?0.1t 当t?0时， F(t)?0，
?1?e?0.1x,x?0,所以 F(x)??
x?0.?0,即X服从参数??0.1的指数分布.
（2） F(3)?1?e?0.1?3?0.26 （3） F(5)?F(3)?0.13 8. 设连续型随机变量X的概率密度为
?2x,0?x?1， f(x)??0,其它.?以Y表示对X的三次独立重复试验中“X?1”出现的次数，试求概率P(Y?2).
211?1?)??2xdx?，依题意 Y～B?3,?，则 24?4?092123 P(Y?2)?C3()()?.
44649. 设顾客排队等待服务的时间X（以分计）服从??1的指数分布.某顾客等待服务，
5解：因为 P(X?若超过10分钟，他就离开.他一个月要去等待服务5次，以Y表示一个月内他未等到服务而离开的次数，试求Y的概率分布和P(Y?1).
x?1?1?e5,x?0,解：X的概率密度 f?x???5
?x?0.?0,12则顾客离开的概率为
??P(X?10)?于是 Y～B5,e
10?f?x?dx???1e?5101?x5x???15dx???e??e?2,
??10????2?，其分布律为
10