kP(Y?k)?C5(e?2)k(1?e?2)5?k,k?0,1,2,3,4,5
所以
P(Y?1)?1?(1?e?2)5?0.5167 10. 设随机变量X的概率密度函数为f(x)?a，试确定a的值并求F(x)和2?(1?x)P(X?1).
aa?????a? 解：由性质?f?x?dx?1,由于?dx?arctanx?????a 2?????(1?x)?????22?????则 a?1. 分布函数
F(x)?
??????a11dt??arctanx,???x??? 2?2????(1?t)x?11??11??1??P(|X|?1)?F(1)?F(?1)???arctan1????arctan?0.5.? 2?2?????11．设X~N(3,22)，试计算
（1）P{2?X?5},P{?4?X?10},P{|X|?2},P{X?3}; （2）设d满足P{X?d}?0.9，问d至多为多少？ 解：（1）因为X~N(3,2)，故有
2P{a?X?b}?P{a?3X?3b?3b?3a?3??}??()??(). 222225?32?3)??()??(1)??(?0.5) 22??(1)?(1??(0.5))?0.5328P{2?X?5}??(P{?4?X?10)?0.9996,
P{|X|?2}?0.6977,P{X?3}?0.5
d?3d?3)?0.9,?(?)?0.9??(1.282), 22d?3?1.282, 因为分布函数?(x)是一个单调不减的函数，故有?2（2）P{X?d}?0.9,即1??()?0.436. 因此 d?3?2?(?1.281 11
,?(??0)的正12．一工厂生产的某种元件的寿命X（以小时计）服从参数为??160}?0.80,则允许?最大为多少？ 态分布.若要求P{120?X?200解：因X~N(160,?2),现要求
P{120?X?200}??(即要求?(40??)??(?40?)?2?(40?)?1?0.80
40?)?0.9??(1.282)，应有
40?1.282,??40?31.20, 1.282即允许?最大为31.20.
13. 某科统考成绩X近似服从正态分布N(70,102)，第100名的成绩为60分，问第20名的成绩约为多少分？
解：设第20名的成绩为x,则
P?X?xX?60??
而 P(X?x|X?60)?
20, 100P?(X?x)?(X?60)?P(X?x)?
P(X?60)P(X?60)又因为 P(X?60)?1???
?60?70??0.8413 ???(1)?10??所以 P(X?x)?0.2?0.8413?0.16826
即 P(X?x)?1???
?x?70????(1)?0.16826 10??x?70?0.96，即x?79.6 10所以 ????0.83174，查表得
10??
?x?70?2214. 设随机变量X和Y均服从正态分布，X~N(?,4)，Y~N(?,5)，而
p1?P(X???4)，p2?P(Y???5)，试证明 p1?p2
???4??????(?1) 4?????5??? p2?P(Y???5)?1?????1??(1)??(?1)
5???p1?p2.
证明：?p1?P(X???4)???
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练习四 随机变量函数的分布
1. 已知X的概率分布为： X -2 2a 2-1 1100 3a 1 2 3 2a P a a 试求（1）a； （2）Y?X?1的概率分布.
解：（1）?2a? ?a? （2） 1?3a?a?a?2a?1 101. 10?1 0 3 8 3131 105105Y P
2. 设随机变量X服从[a,b]上的均匀分布，令Y?cX?d?c?0?，试求随机变量Y的密度函数.
??y?d?1,?f???解：fY(y)??X?c?|c|?0,?a?y?d?b, c其它.?1,ca?d?y?cb?d,?当c?0时，fY(y)??c(b?a)
?0,其他;?1?,cb?d?y?ca?d,??当c?0时，fY(y)??c(b?a)
?0,其他.?X 3．设随机变量X在区间[0,1]上服从均匀分布.(1)求Y?e的概率密度；（2）求
Y??2lnX的概率密度.
y?1?1?2?,1?y?e,?e,解： (1) fY?y???y (2) fY?y???2??其它；?0,?0,2y?0, 其它.X 4．设X~N(0,1).(1)求Y?e的概率密度；(2)求Y?2X?1的概率密度.
y?1?lny??1???1e4,??e2,y?0,解：(1) fY?y???2?y (2) fY?y???2??y?1???0,其它；0,??2y?0,其它.
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其它，?0,? 5．设随机变量X的概率密度为f?x???2x,求Y?sinX的概率密度.
,0?x??.???22?,0?y?1,?2解： fY?y????1?y
?0,其它.? 6．设电流I是一个随机变量,它均匀分布在9A~11A之间.若此电流通过2?的电阻,在其上消耗功率W?2I.求W的概率密度.
2?1,162?w?242,?解： fW?w???42w
?其它.?0,综合练习题
一、填空题
k1．当a?12时,P?X?k??a(),k?1,2,3?,才能成为随机变量X的分布律.
232．设随机变量X 的分布律为P{X?k}?a?kk!,k?0,1,2,?,其中?为大于零的常数，则
a?e??.
3.随机变量X的分布函数F(x)是事件?X?x?的概率.
4.设随机变量X服从二项分布B(100,),则k?25时，P{X?k}为最大.
5. 设随机变量X服从参数为(2,p)的二项分布，随机变量Y服从参数为(3,p)的二项分布，若P{X?1}?145,则P{Y?1}?1927 . 96．从1,2,?,9这九个数字中每次任取一个数字，做放回抽样，直到抽出能被3整除的数字为止，则此数字出现在第三次抽取的概率为427.
2k?27．设随机变量X~?(?)，且P?X?1??P?X?2?,则P?X?k??e,k?0,1,?。
k!8.设随机变量X的概率密度为f(x)?Ae?x,x?R,则常数A?12,其分布函数
?1?x1?e,x?0??2F(x)?? .
1?ex,x?0??2
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??0,x?0,???9.设随机变量X的分布函数为F?x???Asinx,0?x?,，则A?1, 概率
2???1,x?;?2????P?X???12.
6??10.设随机变量X~N(10,0.02)，已知?(x)??落在区间(9.95,10.05)内的概率为 0.9876 .
2x??e2?1?t22且?(2.5)?0.9则X938，dt，
}?0.16,则??_10_. 11.设X~N(100,?2)，且P{X?11012.设随机变量X服从正态分布N(?1,2),则幂级数
22?Xn?1?n收敛的概率为0.3413.
13. 设随机变量X~N(?,?)（?＞2），且二次方程y?4y?X?0无实根的概率为则 ? = 4 .
21,2二、选择题
1. 设随机变量X～N?3,4?,且满足P(X?C)?P(X?C),则常数C=( C )
(A) 0； (B) 2； (C) 3； (D) 4. 2．设随机变量X和Y相互独立且X~N(0,1),Y~N(1,1),则( B )
11； (B)P(X?Y?1)?； 2211(C) P(X?Y?0)?； (D)P(X?Y?1)?.
22(A) P(X?Y?0)?3．设随机变量X服从指数分布，则对随机变量Y?min{X,2}的分布函数，下面哪一个结论正确（ D ）
（A）是连续函数；（B）至少有两个间断点；（C）是阶梯函数； (D）恰好有一个间断点. 4．下列函数中，可以作为某一随机变量的分布函数的是（ B ）
111F(x)?arctanx?； （B）；
?21?x2?1x???1?e?x,x?0,（C）F?x???2 ； （D）F(x)??f(t)dt,其中?f(t)dt?1.
?????0,x?0;?（A）F(x)???5. 设F1(x)和F2(x)是两个随机变量的分布函数, 为使F(x)?aF1(x)?bF2(x)也是分布
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