1. 用波动方程推出薛定谔方程。
解：设有一个粒子，其质量为m，能量为E，动量为P，根据德布罗意关系可知与粒子运动联系的波的角频率?及波矢k有如下关系：
????E/???k?p/?（1）
则与该粒子相联系的平面波的波函数为：
??????(r,t)??0exp[i(k?r??t)/?]??0exp[i(p?r??t)/?] （2）
（2）式对t求偏导数得：
i???t???(r,t)?E?(r,t)
??i?(r,t)??E?(r,t) ?t?? （3）
?12??(r,t)??Px?(r,t) 22?x??2（2）式对x求两次偏导数得：即：??2??22??(r,t)?Px?(r,t)
?同理有：??2?2?(r,t)?Py2?(r,t)
??222????(r,t)?Pz?(r,t)?
可进一步写成：
所以，
??2?2??????(r,t)?P?(r,t)222m?2??(r,t)??2P2m??(r,t)（4）
?2又由于E?P/2m
（3），（4）式相减得：(i???t??22m?2?)?(r,t)?(E??2P2m?)?(r,t)?0
???2i??(r,t)????(r,t) 化简得：（5） ?t2m?2?进一步考虑粒子在势场V(r)中的运动，E?P/2m?V???（5）式可写为：i??(r,t)?(??2?V)?(r,t)
?t2m?2?2
上式即为薛定谔方程。
2. 推出电荷守恒公式
3. 为什么ka?n?中的n不可以为零？
答：若n=0，波函恒为0数无意义
4. 设粒子处于二维无限深势阱V(x,y)????????其它0????0?x?a，0 函数。如果a=b，能量简并度如何？ 解：（1）粒子处于二维无限深势阱V(x,y)????????其它0????0?x?a，0 程为： 2??22m(?2?x2???y2)?(x,y)?E?(x,y)，0?x?a，0 ?2?2?2m(?2?x2??y2)?(x,y)?V(x,y)?(x,y)?E?(x,y)，(x,y)?其它 （2） 对于（2）式，因为V(x,y)??，则?(x,y)?0 令k2?2mE?2， 则（1）式可可表示为：(?2?22?x2??y2?k)?(x,y)?0 解 为?(x,y)?Asin(kxx??1)sin(kyy??2)A,?为待定常数 （3） 由在阱壁上的连续性可得：?(0,0)??(a,0)??(0,b)??(a,b)?0 （4 ） 将（3）式代入（4）式得：?1??2?0 kxa?n1?，n1?1,2,3,? kyb?n2?，n2?1,2,3,? 代入k2?2mE?2中得粒子能量的允许值为： 222???n1,n2???2m(n1n22a?b)，n1,n2?1,2,3,? 对应予能级?nn1?1,n2的波函数记为：?n1,n2(x,y)?Asin(ax)sin(n2?by) ： ，