北京2013届高三最新模拟试题分类汇编（含9区一模及上学期期末试题精选）专题：概率
一、选择题
1 ．（2013届北京大兴区一模理科）若实数a,b满足a+b≤1，则关于x的方程x-2x+a+b=0有实
222数根的概率是 A．
（ ）
B．
3π-23π+2 C． D． 44π4π2 ．（2013届东城区一模理科）某游戏规则如下：随机地往半径为1的圆内投掷飞标，若飞标到圆心的距离大
1 4于
111，则成绩为及格；若飞标到圆心的距离小于，则成绩为优秀；若飞标到圆心的距离大于且小于244（ ）
1，则成绩为良好，那么在所有投掷到圆内的飞标中得到成绩为良好的概率为 23131A． B． C． D．
1644163 ．（北京市西城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题）将正整数1,2,3,4,5,6,7随机分成两组，使得每
组至少有一个数，则两组中各数之和相等的概率是 A．
（ ）
D．
2 21B．
4 63C．
1 212 63（ ）
4 ．（北京市丰台区2013届高三上学期期末考试 数学理试题 ）从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个
球，则恰有一个红球的概率是 A．
1 3B．
1 2C．
2 3D．
5 6?x?2y?2?0,?5 ．（北京市昌平区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）设不等式组?x≤4， 表示的平面区域为
?y??2?D．在区域D内随机取一个点，则此点到直线y+2=0的距离大于2的概率是
A．
4 13（ ）
B．
5 13C．
8 25D．
9 25二、填空题
6 ．（北京市东城区普通高中示范校2013届高三3月联考综合练习（二）数学（理）试题 ）已知随机变量X的
分布列如下，则EX的值等于 X[来源学&科&网Z&X&X&K] 1 1 22 1 33 m P ?y?x?1,?7 ．（北京市东城区普通校2013届高三3月联考数学（理）试题 ）已知区域??{(x,y)?y?0,}，
?x?1,???y??x?1,M?{(x,y)?}，向区域?内随机投一点P，点P落在区域M内的概率为 .
??y?0,第1页，共22页
三、解答题
8 ．（2013届北京大兴区一模理科）期末考试结束后，随机抽查了某校高三(1)班5名同学的数学与物理成绩，
如下表： 学生 数学 物理 A1 A2 A3 A4 A5 89 87 91 89 93 89 95 92 97 93 （1）分别求这5名同学数学与物理成绩的平均分与方差，并估计该班数学与物理成绩那科更稳定。 从4名数学成绩在90分以上的同学中选2人参加一项活动，以X表示选中同学的物理成绩高于90分的
人数，求随机变量X的分布列及数学期望E(X)的值．
9 ．（2013届北京丰台区一模理科）在一次抽奖活动中，有甲、乙等6人获得抽奖的机会。抽奖规则如下：主
办方先从6人中随机抽取两人均获奖1000元，再从余下的4人中随机抽取1人获奖600元，最后还从这4人中随机抽取1人获奖400元。 （Ⅰ）求甲和乙都不获奖的概率；
（Ⅱ）设X是甲获奖的金额，求X的分布列和均值EX。
10．（2013届北京海滨一模理科）在某大学自主招生考试中，所有选报II类志向的考生全部参加了“数学与
逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A,B,C,D,E五个等级. 某考场考生两科的考试成绩的数据统计如下图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B的考生有10人. （I）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A的人数； （II）若等级A，B，C，D，E分别对应5分，4分，3分，2分，1分. （i）求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；
(ii)若该考场共有10人得分大于7分，其中有2人10分，2人9分，6人8分. 从这10 人中随机抽取两人，求两人成绩之和的分布列和数学期望.
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频率 0.375 0.200 0.075科目：数学与逻辑频率科目：阅读与表达0.3750.1500.025等级等级
11．（2013届北京市延庆县一模数学理）空气质量指数PM2.5 (单位:?g/m)表示每立方米空气中可入肺颗
3粒物的含量,这个值越高,就代表空气污染越严重:
PM2 .5甲、乙两城市2013年2月份中的15天对空气质量指数,获得甲城市 进行监测 乙城市 PM 2.5日均浓度指数数
3 0 2 2 4 3 2 0 4
4 8 9 6 5 5 （Ⅰ）根据你所学的统计知识估计甲、乙两城市15天内
6 1 5 1 6 4
哪个城市空气质量总体较好?（注：不需说明理由)
7 8 7 6 9 7
（Ⅱ）在15天内任取1天，估计甲、乙两城市 8 2 3 0 8 8 0 7
9 8 9 1 8 0 9 空气质量类别均为优或良的概率；
(Ⅲ) 在乙城市15个监测数据中任取2个,设X为空气质量类别为优或良的天数, 据如茎叶图所示:
求X的分布列及数学期望.
12．（2013届北京西城区一模理科）某班有甲、乙两个学习小组，两组的人数如下：
现采用分层抽样的方法（层内采用简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名同学进行学业检测． （Ⅰ）求从甲组抽取的同学中恰有1名女同学的概率；
（Ⅱ）记X为抽取的3名同学中男同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．
13．（2013届东城区一模理科）某班联欢会举行抽奖活动，现有六张分别标有1，2，3，4，5，6六个数字的
形状相同的卡片，其中标有偶数数字的卡片是有奖卡片，且奖品个数与卡片上所标数字相同，游戏规则
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如下：每人每次不放回抽取一张，抽取两次. （Ⅰ）求所得奖品个数达到最大时的概率；
（Ⅱ）记奖品个数为随机变量X，求X的分布列及数学期望.
14．（2013届房山区一模理科数学）PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒
物．我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米?75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．
某城市环保局从该市市区2012年全年每天的PM2.5监测数据中随机的抽取15天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）．
（Ⅰ）从这15天的PM2.5日均监测数据中，随机抽出三天数据，求恰有一天空气质量达到一级的概率；
2 3 4 6 7 8 9 PM2.5日均值(微克/立方米) 8 7 4 3 9 6 2 1 5 8 3 5 4 5 3 （Ⅱ）从这15天的数据中任取三天数据，记?表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求?的分布列和数学期望；
（Ⅲ）根据这15天的PM2.5日均值来估计一年的空气质量情况，则一年（按365天计算）中平均有多少天的空气质量达到一级或二级．
15．（2013届门头沟区一模理科）交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念性
指数值，交通指数取值范围为0～10，分为五个级别，0～2 畅 通；2～4 基本畅通；4～6 轻度拥堵；6～8 中度拥堵；8～10 严重拥堵．
早高峰时段，从北京市交通指挥中心随机选取了四环以内的50个交通路段，依据其交通指数数据绘制的直方图如右图．
（Ⅰ）这50个路段为中度拥堵的有多少个？
0.24 （Ⅱ）据此估计，早高峰四环以内的三个路段至少0.2 有一个是严重拥堵的概率是多少？
0.16 （III）某人上班路上所用时间若畅通时为20分钟，0.1 基本畅通为30分钟，轻度拥堵为36分钟；中度拥堵为42分钟；严重拥堵为60分钟，求此人所用时间的数学期望．
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频率 组距 3 4 5 6 7 8 9 交通指数 16．（北京市东城区普通高中示范校2013届高三3月联考综合练习（二）数学（理）试题 ）(本小题满分13分) 某
地区举办了一次数学知识应用竞赛．有近万名学生参加，为了分析竞赛情况，在参赛学生中随机抽取了
40名学生的成绩，并根据他们的成绩制作了频率分布直方图（如图所示）． (1) 试估计这40名学生成绩的众数；
(2) 试估计这40名学生的成绩在?72, 84?之间的人数；
(3) 从参加活动的学生中任取5人，求这5人中恰有2人的成绩在?80, 90? 之间的概率．
频率组距0.050 0.045 0.040 0.035 0.030 0.025 0.020 0.015 0.010 0.005 0 60
17．（北京市东城区普通校2013届高三3月联考数学（理）试题 ）甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装
65 70 75 80 85 90 95 100 分数
有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，现在从这两个箱子里各随机摸出2个球，求 (Ⅰ)摸出3个白球的概率； (Ⅱ)摸出至少两个白球的概率；
（Ⅲ）若将摸出至少两个白球记为1分，则一个人有放回地摸2次，求得分X的分布列及数学期望。
18．（北京市西城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题）生产A，B两种元件，其质量按测试指标划分
为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品．现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下： 测试指标 元件A 元件B [70,76) [76,82) [82,88) [88,94) [94,100] 8 12 18 40 32 8 7 40 第5页，共22页
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