则由第一个月到第十二个月兔子的对数分别
是：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，??，这个数列称为斐波那契数列．这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。所以斐波那契数列的定义为： 数列
满足
;
则称此数列为斐波那契（Fibonacci）数列
很有趣的是：这样一个完全是自然数的数列，通项公式居然是用无理数来表达的。它的通项公式为：
斐波那契数列又因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”。
又或者，斐波那契数列还可以由生活中一个很有意思的例子来引入：走楼梯问题。问题是这么提出的：
问题：某人可以一步登一个台阶，也可以一步登二个台阶，问他登上n个台阶的方式又有多少种？
解答：假设此人登上n台阶的方式有
种。
种；若第一步登了二阶，
若第一步登了一阶，则登上n阶台阶的方式有则登上n阶台阶的方式
有
种，于是
此时容易得到所以
于是这是一个删除了首项的斐波那契数列，
2
1.3斐波那契数列通项公式的若干推导方法
推导方法 1 先求满足递推关系
的等比数列
，其中
。于是（1）变形为
整理为
用求根公式可解得
可见，满足条件（1）的等比数列有两个公比
和
如果等比数列满足条件则公比为1，即不等于
，因此不可能满足条件（1）。但是，如果将满足条件（1）的两个
等比数列
与
逐项相加得到数列
==
（2）
则数列（2）仍满足条件（1），如果能适当选择a，b使即
3
则
（3）
所满足的所有条件。容易看出，满足条件的斐波
就符合斐波那契数列
那契数列是唯一的。因此满足条件（3）的a，b决定的数列（2）就是所求
的斐波那契数列。
由于程组，解之得
a=
，b=
从而
.
,所以可以将条件（3）看成以a，b为未知数的二元一次方
又由于因此
.
所以这里得到了斐波那契数列的通项公式
，
推导方法1的关键是：满足条件（1）的两个等比数列
仍
满足条件（1）（前两项都等于1。
一般不再是等比数列），适当选择的
推导方法 2 初等代数法
4
已知
首先，构建等比数列 设化简得
与式（1）比较系数可得：
不妨设
解得
所以有求出等比数列由以上可得：
变形得：求数列
进而得到
。令
，即为等比数列。
5
设
，解得
。故数列
为等比数列
即 。而，故有
又有和
可得得出
表达式
至此，我们就推导出了斐波那契数列的通项公式。
推导方法 3 大家都知道斐波那契数列的性质是从第三项开始，后面每一项是前面两项的和，即数列要满足式（1）的条件，而式（1）属于线性递归数列，此数列有其一般的表达式为：
式（4）变形为：
6