2019年高三文科数学一轮复习：函数与方程知识总结与题型演练 一、考纲指导
1、结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.
2、利用函数零点的存在性定理或函数的图象，对函数是否存在零点进行判断或利用零点(方程实根)的存在情况求相关参数的范围，是高考的热点，题型以选择、填空为主，也可和导数等知识交汇出现解答题，中高档难度.
二、知识梳理
1．函数的零点 (1)函数零点的定义
对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点． (2)三个等价关系
方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点． (3)函数零点的判定(零点存在性定理)
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个__c__也就是方程f(x)＝0的根． 2．二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象与零点的关系
二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 与x轴的交点 零点个数
(x1,0)，(x2,0) 2 (x1,0) 1 无交点 0 Δ>0 Δ＝0 Δ<0 三、知识拓展
有关函数零点的结论
(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点． (2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号． (3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．
四、基础检测
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．( × )
(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)<0.( × ) (3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点．( √ )
(4)f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，恒有h(x) 2 2．[P92A组T5]函数f(x)＝ln x－的零点所在的大致区间是( ) xA．(1,2) 1?C.??e，1?和(3,4) 答案 B 2解析 ∵f(2)＝ln 2－1<0，f(3)＝ln 3－>0 3且函数f(x)的图象连续不断，f(x)为增函数， ∴f(x)的零点在区间(2,3)内． 3．[P88例1]若函数f(x)＝3x－7＋ln x的零点位于区间(n，n＋1)(n∈N)内，则n＝________. 答案 2 解析 由于ln 2 1?x 4．[P92A组T4]函数f(x)＝x－??2?的零点个数为________． 答案 1 1?x解析 作函数y1＝x和y2＝??2?的图象如图所示， 由图象知函数f(x)有1个零点． 1212B．(2,3) D．(4，＋∞) 题组三 易错自纠 5．已知函数f(x)＝x－x(x>0)，g(x)＝x＋ex，h(x)＝x＋ln x的零点分别为x1，x2，x3，则( ) A．x1 解析 作出y＝x与y1＝x，y2＝－ex，y3＝－ln x的图象如图所示，可知选C. B．x2 ?2x－1，x≤1，? 6．已知函数f(x)＝?则函数f(x)有______个零点． ?1＋logx，x>1，?2 答案 1 解析 当x≤1时，由f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0； 1 当x>1时，由f(x)＝1＋log2x＝0，解得x＝，又因为x>1，所以此时方程无解．综上函数f(x)只有1个零点． 27．函数f(x)＝ax＋1－2a在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是________． 1? 答案 ??3，1? 解析 ∵函数f(x)的图象为直线，由题意可得 f(－1)f(1)<0，∴(－3a＋1)·(1－a)<0， 1?1 解得 五、题型演练 题型一 函数零点所在区间的判定 1．设f(x)＝ln x＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为( ) A．(0,1) C．(2,3) 答案 B 解析 ∵f(1)＝ln 1＋1－2＝－1<0，f(2)＝ln 2>0， ∴f(1)·f(2)<0， ∵函数f(x)＝ln x＋x－2的图象是连续的，且为增函数， ∴f(x)的零点所在的区间是(1,2)． B．(1,2) D．(3,4) 2．若a 解析 ∵a 由函数零点存在性定理可知，在区间(a，b)，(b，c)内分别存在零点，又函数f(x)是二次函数，最多有两个零点． 因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)，(b，c)内，故选A. 1?x－2 3．设函数y1＝x3与y2＝?y0)，若x0∈(n，n＋1)，n∈N，则x0所在的区间是______． ?2?的图象的交点为(x0，答案 (1,2) 1?x－2解析 令f(x)＝x3－??2?，则f(x0)＝0，易知f(x)为增函数，且f(1)<0，f(2)>0， ∴x0所在的区间是(1,2)． 思维升华 确定函数零点所在区间的常用方法 (1)利用函数零点存在性定理； (2)数形结合法． 题型二 函数零点个数的判断 ?x2－2，x≤0，?典例 (1)函数f(x)＝?的零点个数是________． ??2x－6＋ln x，x>0 B．(－∞，a)和(a，b)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞) 答案 2 解析 当x≤0时，令x2－2＝0，解得x＝－2(正根舍去)，所以在(－∞，0]上有一个零点；当x>0时，f′(x)1 ＝2＋>0恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数． x 又因为f(2)＝－2＋ln 2<0，f(3)＝ln 3>0，所以f(x)在(0，＋∞)上有一个零点，综上，函数f(x)的零点个数为2. (2)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝ex＋x－3，则f(x)的零点个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 答案 C 解析 因为函数f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)＝0，即0是函数f(x)的一个零点， 当x>0时，令f(x)＝ex＋x－3＝0，则ex＝－x＋3， 分别画出函数y1＝ex和y2＝－x＋3的图象，如图所示，两函数图象有一个交点，所以函数f(x)有一个零点， 根据对称性知，当x<0时函数f(x)也有一个零点． 综上所述，f(x)的零点个数为3. 思维升华 函数零点个数的判断方法： (1)直接求零点； (2)利用零点存在性定理再结合函数的单调性确定零点个数； (3)利用函数图象的交点个数判断． 2??x＋x－2，x≤0， 跟踪训练 (1)函数f(x)＝?的零点个数为( ) ?－1＋ln x，x>0? A．3 B．2 C．7 D．0 答案 B 解析 方法一 由f(x)＝0得 ?x≤0，?x>0，?? ?2或? ??x＋x－2＝0－1＋ln x＝0，?? 解得x＝－2或x＝e. 因此函数f(x)共有2个零点． 方法二 函数f(x)的图象如图所示，由图象知函数f(x)共有2个零点． (2)函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为________． 答案 2 1?x解析 由f(x)＝0，得|log0.5x|＝??2?， 1?x作出函数y1＝|log0.5x|和y2＝??2?的图象，