数学（理科）参考答案及评分意见
第I卷（选择题，共60分）
一．选择题：(每小题5分，共60分)
1.B；2.D；3.D；4.C；5.C；6.B；7.B；8.A；9.C；10.C；11.B；12.B.
第II卷（非选择题，共90分）
二．填空题：(每小题5分，共20分)
13.40；14.12；15.6；16.6.
三．解答题：(共70分)
17.解：（1）设数列?an?的公差为d. ?a2?3,S4?16， ?a1?d?3,4a1?6d?16.
解得d?2,a1?1. ???4分
?an?2n?1. ???6分 （2）由题意，bn?(2n?1)?2n.
?Tn?1?21?3?22?????(2n?3)?2n?1?(2n?1)?2n. ? 2Tn??????????1?22?????(2n?3)?2n?(2n?1)?2n?1. ? 由?-?，可得
?Tn?1?21?2?(22?23?????2n)?(2n?1)?2n?1. ???9分 ??Tn?2?23(2n?1?1)?(2n?1)?2n?1??6?(?2n?3)?2n?1. ???11分
?Tn?6?(2n?3)?2n?1. ???12分
18.解：（1）记“从这12天的数据中随机抽取3个,至多有1天是用水量超标” 为 事件A.
23C1CC16842488则P(A)????. ???4分 33 C12C12220551 （2）以这12天的样本数据中用水量超标的频率作为概率，易知其概率为.
3
随机变量X表示未来三天用水量超标的天数，∴X的取值分别为：0,1,2,3.
易知X?B(3,13),P(X?k)?Ck123(3)k(3)3?k,k?0,1,2,3.
则P(X?0)?827，P(X?1)?49,P(X?2)?29,P(X?3)?127. ???8分 ∴随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 P 8 4 212799 27 ???10分
数学期望E(X)?3?13?1. ???12分 解：（1）取AC的中点O,连接PO,BO得到?PBO.
?ABCD是菱形，?PA?PC，PO?AC.
?DC?5,AC?6,?OC?3，PO?OB?4,
?PB?42， ?PO2?OB2?PB2. ?PO?OB.
?BO?AC?O，?PO?平面ABC. ?PO?平面PAC， ?平面ABC?平面PAC. ???4分
（2）?AB?BC，?BO?AC. 易知OB,OC,OP两两相互垂直.
以O为坐标原点，???OB?,???OC?,???OP?分别为x轴，y轴，z轴的Oxyz，如图所示.
则B(4,0,0),C(0,3,0),P(0,0,4),A(0,?3,0). 设点Q(x,y,z).
由???AQ??1???3AP?，得Q(0,?2,4).???6分
3 正方
19. 向建立空间直角坐标系
????????4?BC?(?4,3,0),BQ?(?4,?2,).
3设n1?(x1,y1,z1)为平面BCQ的一个法向量.
3??????4x?3y?0?x?y1???n1?BC?0?1?141. ??.解得?由?????44?4x?2y?z=011?n1?BQ?0?1?y=z?3??1151?取z1=15，则n1?(3,4,15). ???8分 取平面ABC的一个法向量n2?(0,0,1).
?cosn1,n2?n1?n215310???11分 ??，222n1n210 3?4?15310.???12分 10
?二面角Q?BC?A的余弦值为
20.解：（1）?c?3,∴a?2,b?1.
a?2，a2?b2?c2， bx2???4分 ?椭圆的标准方程为?y2?1.4
（2）易知当直线l的斜率不存在时，不合题意. 设直线l的方程为y?kx?m(m?1)，点M(x1,y1),N(x2,y2).
联立??y?kx?m222消去y 可得(4k?1)x?8kmx?4m?4?0. ，22?x?4y?4????4k2?1?m2?0??8km???x1?x2?2.
4k?1??4m2?4?x1x2?4k2?1?由MN=2BH，可知点B在以MN为直径的圆上.
??????????BM?BN. ?BM?BN?0. ???7分
??????????BM?BN?(x1,kx1?m?1)?(x2,kx2?m?1)
?(k2?1)x1x2?k(m?1)(x1?x2)?(m?1)2?0，4m2?4?8km?(k?1)2?k(m?1)2?(m?1)2?0.
4k?14k?12整理，得5m?2m?3?0. 解得m??23或m?1（舍去）. 5∴直线l的方程为y?kx?.
35故直线l经过定点，且该定点的坐标为(0,?).3???12分
5
21.解：（1）曲线在点P(x0,ex0)处的切线为y?ex0x?x0ex0?ex0.
?k?ex0,b??x0ex0?ex0. ?k?b?x0ex0. ???3分 设H(x)?xex.
由H?(x)?(x?1)ex?0，解得x??1.
当x???时，H?(x)?0，∴H(x)单调递增; 当x???时, H?(x)?0，∴H(x)单调递减.
1?H(x)的极小值（也是最小值）为H(?1)??.
e∴k?b的最小值为?.1???5分
e
（2）当x?0时，由g?(x)?x(ex?2m)?0，解得x?ln2m. 当x?ln2m时，g?(x)?0，∴g(x)在(ln2m,??)上单调递增； 当0?x?ln2m时，g?(x)?0，∴g(x)在(0,ln2m)上单调递减.
∴g(x)的极小值为g(ln2m). ???7分
?g(ln2m)?0. ∵g(1)?2?m?0,x?ln2m?ln4?1，又?g(0)?1?0,g(1)?2?m?0,??x1?(0,1),使得g(x1)?0.
4???9分 ?x2?ln2m?ln4,?x2?x1?ln4?1?ln.e
当x?m时，g(m)?(m?1)em?m3?2,m?2.
?g?(m)?mem?3m2?m(em?3m). 设G(m)?em?3m,m?2.
?G?(m)?em?3?0,?G(m)在(2,??)上单调递增. ?G(m)?G(2)?e2?6?0.?g?(m)?0恒成立.
?g(m)?g(2)?e2?6?0.??x2?(ln2m,m),使得g(x2)?0. ?m?x2.?m?x2?x1. 故ln4?x2?x1?m成立. ???12分 e1?x?2?t?2?22.解：（1）由?消去参数t可得y?3(x?2)?2. ，?y?2?3t??2∴直线l的普通方程为3x?y?2?23?0. ???2分
??sin2??4sin???，??2sin2??4?sin???2. ??sin??y，?2?x2?y2,
故曲线C的直角坐标方程为x?4y. ???4分
21?x?2?t?1232?2t).（2）将?代入抛物线方程x?4y，可得(2?t)?4(2?22 ?y?2?3t??2即t?(8?83)t?16?0. ???8分 设点A,B对应的参数分别为t1,t2. 则??0,t1+t2?83?8,t1t2??16,
2∴MA?MB?t1t2?16.
???10分
23.解：（1）由题意，得x?2?x?1?4.
(i)当x?2时，原不等式即2x?5.∴2?x?5； 2
3；(ii)当x???时,原不等式即?2x?3.∴??x??1
2(iii)当???x?2时，原不等式即3???∴?1?x?2.
综上，原不等式的解集为?x|???3?x?2355?x??,x?，即. ?12222??x1?x2?1. ???5分 （2）由题意，得x?2?kx?1?k.
当x?2时,即不等式3k?k成立.?k?0.
(i)当x??2或x?0时,
?x?1?1?不等式|x?2|?k|x?1|?k恒成立. ，(ii)当?2?x??1时,
原不等式可化为2?x?kx?k?k.可得k?2?x4??1?.x?2x?2
?k?3.
(iii)当?1?x?0时,
原不等式可化为2?x?kx?k?k.可得k?1?2. x?k?3.
综上，可得0?k?3，即k的最大值为3. ???10分