第五章 扩域
● 课时安排 约2课时
● 教学内容 （《近世代数基础》 （1978年修订本） 张和瑞 著 p151?154） 在这一章里我们要对于域做一些进一步的讨论。我们不准备证明一些复杂的结构定理，而主要是对单扩域、代数扩域、多项式的分裂域、有限域和可离扩域做一些讨论。
§5.1 扩域、素域
我们先说明一下，研究域所用的方法。
定义 一个域E叫做一个域F的扩域（扩张），假如F是E的子域。
我们知道，实数域是在它的子域有理数域上建立起来的，而复数域是在它的子域实数域上建立起来的。研究域的方法就是：从一个给定的域F出发，来研究它的扩域。 这就有如何选择域F的问题。我们有以下的事实。
定理1 令E是一个域。若E的特征是?，那么E含有一个与有理数域同构的子域；若E的特征是素数p，那么E含有一个与R(p)同构的子域，这里R是整数环，（p）是由p生成的主理想。
证明：域E包含一个单位元e。因此E也包含所有ne（n是整数）。令R?是所有ne作成的集合。那么
??ne ?： n?显然是整数环R到R?的一个同态满射。
情形1 E的特征是?。 这时?是一个同构映射：
R?R?
但E包含R?的商域F?。由Ⅲ，10，定理4，F?与R的商域，也就是有理数域同构。 情形2 E的特征是素数p。这时
R/μ?R?
此处μ是?的核。但
p ???pe=0
??e?0 所以p?μ，因而μ?(p)。由Ⅳ，3，引理2，(p)是一个最大理想。另一方面1?所以??R，而μ=(p)，因而
R/（p）?R?
有理数域和R/（p）显然都不含真子域。 定义 一个域叫做素域，假如它不含真子域。
由定理1知道：一个素域或是与有理数域同构，或是与R/（p）同构。因此定理1的另一形式是
定理2 令E是一个域。若E的特征是?，那么E含有一个与有理数域同构的素域；若E的特征是素数p，那么E包含一个与R(p)同构的素域。
由定理2，一个任意域都是一个素域的扩域，我们就掌握了所有的域。但事实上研究素域的扩域并不比研究一个任意域的扩域来得容易。因此我们研究域的普通方法是：设法决定一个任意域F的所有扩域E。
现在我们极粗略地描述一下一个扩域的结构。
令E是F的一个扩域。我们从E里取出一个子集S来。我们用F（S）表示含F和S的E的最小子域，把它叫做添加集合S于F所得的扩域。
F（S）的存在容易看出。因为，E的确有含F和S的子域，例如E本身，一切这样的子域的交集显然是含F和S的E的最小子域。 更具体的说，F（S）刚好包含E的一切可以写成
f1(a1,a2,?,an)
f2(a1,a2,?,an)形式的元。这里a1,a2,?,an是S中的任意有限个元素，而f1和f2（?0）是F上的这些? （1）
的多项式。这是因为：F（S）既然是含有F和S的一个域，它必然含有一切可以写成形式（1）的元；另一方面，一切可以写成形式（1）的元已经作成一个含有F和S的域。
适当选择S，我们可以使E =F（S）。例如S=E，就可以作到这一点。实际上，为了作到这一点，常常只须取E的一个真子集S。
若S是一个有限集：S={a1,a2,?,an}，那么我们也把F（S）记作
F（a1,a2,?,an）
叫做添加元素a1,a2,?,an于F所得的子域。
为了便于讨E 是域F的一个扩域，而S1和S2是E的两个子集。那么
F（S1）（S2）= F（S1?S2）=F（S2）（S1）
证明： F（S1）（S2）是一个包含F、S1和S2的E的子域，而F（S1?S2）是包含F和S1?S2的E的最小子域。因此
（2） F（S1）（S2）?F（S1?S2）
另一方面F（S1?S2）是一个包含F、S1和S2，因而是一个包含F（S1）和S2的E的子域。但F（S1）（S2）是包含F（S1）和S2的E的最小子域，因此
（3） F（S1）（S2）?F（S1?S2）
有（2）和（3），得
F（S1）（S2）= F（S1?S2）
同样可以得到
F（S2）（S1）= F（S1?S2）
证完
根据定理3，我们可以添加一个有限集归结为陆续添加单个元素，例如
F（a1,a2,?,an）= F(a1)(a2)?(an)
定义 添加一个元素?于域F所得的扩域F（?）叫F的单扩域（扩张）。 单扩域是最简单的扩域。我们在下一节将先讨论这种扩域结构。 ● 教学重点 扩域与素域的定义。 ● 教学难点 定理1的证明。
● 教学要求 使学生掌握扩域与素域的定义，利用扩域和素域的定义以及定理1，2，3
能证明相关的命题。 ● 布置作业 p154 习题。
● 教学辅导 利用参考书，给学生辅导相关的内容。
§5.2 单扩域
● 课时安排 约2学时。
● 教学内容 （《近世代数基础》 （1978年修订本） 张和瑞 著 p154?160）
假设E 是F的扩域，而?是E的一个元。
要讨论单扩域F（?）的结构，我们把E的元分成两类。
定义 ?叫做域F的一个代数元，假如存在F的不都等于零的元a0,a1,?an，使得
a0?a1????an?n?0
假如这样的a0,a1,?an不存在，?就叫做F上的一个超越元。若?是F的一个代数元，F（?）就叫做F的一个单代数扩域；若?是F的一个超越元，F（?）就叫做F的一个单超越扩域。
单扩域的结构通过以下定理可以掌握。 定理1 若?是F的一个超越元，那么
F（?）? F[x]的商域
这里F[x]是F上的一个未定元x的多项式环。 若?是F的一个代数元，那么
F（?）? F[x]/(p(x))
这里p(x)是F[x]的一个唯一确定的、最高系数为1的不可约多项式，并且p(?)?0。 证明 F（?）包含F上的?的多项式环
F[?]?一切?ak?k,ak?F
我们知道，
???axkk????ak?k
是F上的未定元x的多项式环F[x]到F[?]的同态满射。现在我们分两个情形来看。
情形1 ?是F的一个超越元。这时以上的映射是同构映射：
F[?]? F[x]
由Ⅲ，10，定理4，
F[?]的商域? F[x]的商域
由Ⅲ，10，定理3，我们可以知道，
（1） F[?]的商域? F[?]
另一方面，F[?]的商域包含F也包含?，因此，由F（?）的定义
（2） F（?）? F[?]的商域
由（1）和（2）得
F（?）=F[?]的商域
因而
F（?）? F[x]的商域
情形2 ?是F的一个代数元。这时
F[?]? F[x]/μ
这里μ是上述同态满射的核。由Ⅳ，4，定理3和定理1，F[x]是一个主理想， 所以
μ=(p(x))
F[x]的一个主理想的两个生成元能够互相整除，因而它们只能差一个单位因子， 而F[x]的单位就是F的非零元。所以令p(x)的最高系数是1，p(x)就是唯一确定的。由μ的定义的：p(?)?0；由此得p(x)不是F的非零元。但?是F上的代数元，所以p(x)也不是零多项式。因此， p(x)的次数≥1。
我们就说，p(x)是F[x]的一个不可约多项式。不然的话，将有
p(x)?g(x)h(x),g(x)和h(x)的次数?p(x)的次数
从而 p(?)?g(?)h(?)=0
但g(?)和h(?)都是域F（?）的元，而域没有零因子，所以由上式可以得到
g(?)=0 或 h(?)=0
这就是说，g(x)?? 或 h(x)??，即p(x)|g(x) 或 p(x)|h(x) 这是一个矛盾。
这样，p(x)是一个不可约的多项式，因而(p(x))是 F[x]的一个最大理想，而F[x]/(p(x))是一个域。这样，F[?]是一个域。但F[?]包含F也包含?，并且F[?]? F（?），所以
F[?]=F（?）? F[x]/(p(x))
证完 以上定理把单扩域归结到我们已经知道的域。当?是域F上代数元时，我们可以把
F（?）描述得更清楚一点。
定理2 令?是域F上的一个代数元，并且
F（?）?F[x]/(p(x))
那么F（?）的每一个元都可以唯一的表成
?a?ii?0n?1i (ai?F)
的形式，这里n是p(x)的次数。要把这样的两个多项式f(?)和g(?)想加，只需把相当的系数想加；f(?)与g(?)的乘积等于r(?)，这里r(x)是用p(x)除f(x)g(x)所得的余式。 证明 由于F（?）= F[?]，所以F（?）的一个任意元?可以写成
?=h(?)??bi(?i) (bi?F)
的形式。但
h(x)?q(x)p(x)?r(x)
其中
r(x)=?aixi (ai?F)
因而，由于p(?)?0，有
i?0n?1? =h(?)?r(?)??ai?i
这种表示法是唯一的。因为：假如
i?0n?1??r1(?)?r2(?)，r1(x)和r2(x)的次数＜n
那么
r1(?)?r2(?)?k(?)?0
p(x)|k(x)
由于k(x)的次数＜n，得
k(x)=0，r1(x)=r2(x)
由以上的证明可以看出，定理的后一部分成立。
证完
我们已经看到，多项式p(x)对于一个代数扩域重要性。p(x)显然是理想μ里的一个次数最低的多项式。
定义 F[x]中满足条件p(?)?0的次数最低的多项式
p(x)?xn?an?1xn?1???a0
叫做元?的在F上的极小多项式。n叫做?的在F上的次数。
以上的讨论是在域F有扩域E的前提下进行的。现在我们问，若是只给了一个域F，是不是有F的单扩域存在？
存在F的单超越扩域容易看出。我们知道，F上的一个未定元x的多项式环F[x]和F[x]的商域都是存在的。F[x]的商域显然是包含F和x的最小域，而按照未定元的定义，x是F上的一个超越元。因此F[x]的商域就是F的一个单超越扩域。由定理1，F的任何单超越扩域都是同构的。 现在我们证明