定理3 对于任一给定域F以及F的一元多项式环F[x]的给定不可约的多项 式
p(x)?xn?an?1xn?1???a0
总存在F的单代数扩域F（?），其中?在F上的极小多项式是p(x)。 证明 有了F和p(x)，我们可以作剩余类环
K?=F[x]/(p(x))
因为p(x)是不可约的多项式，所以(p(x))是一个最大理想，因而K?是一个域。 我们知道，有F[x]到K?的同态满射
f(x) ???f(x)
这里f(x)是f(x)所在的剩余类。由于F? F[x]，在这个同态满射之下，F有一个象
F?K?，并且F与F同态。但对于F的元a和b来说
a?b?p(x)┼a-b，a?b?0?a?b
所以F与F同构。这样，由于K?和F没有共同元，根据Ⅲ，5，定理4，我们可以把K?的子集F用F来掉换而得到一个域K，使得
K?K?，F?K?
现在我们看F[x]的元x在K?里的象x。由于
p(x)?xn?an?1xn?1???a0≡0 (p(x))
所以在K?里
x?an?1xnn?1???ao?0
因此，假如我们把x在K里的逆象叫做?，我们就有
?n?an?1?n?1???a0?0
这样，域K包含一个F上的代数元?。我们证明，p(x)就是?在F上的极小多项式。令p1(x)是?在F上的极小多项式。那么F[x]中一切满足条件f(?)=0的多项式f(x)显然作成一个理想，而这个理想就是主理想（p1(x)）（参看Ⅳ，4，定理1的证明）。因此p(x)能被p1(x)整除。但p(x)不可约，所以一定有
p(x)=ap1(x)， a?F
但p(x)和p1(x)的最高系数都是1，所以a=1，而
p(x)=p1(x)
因此我们可以在域K中作单扩域F（?），而F（?）能满足定理的要求。 实际上F（?）=K。这一点我们留给读者去证明。
证完
给了域F和F[x]的一个最高系数为1的不可约多项式p(x)，可能存在若干个单代数扩域，都满足定理3的要求。但我们有
定理4 令F(?)和F(?)是域F的两个单代数扩域，并且α和β在F上有相同的极小
多项式p(x)。那么F(?)和F(?)同构。
证明 假定p(x)的次数是n。那么F(?)的元都可以写成的元都可以写成
?i?0n?1?a?ii?0n?1i的形式，而F(?)
ai?的形式，这里ai?F。映射
i?a?ii?0n?1i????ai?i
i?0n?1显然是F(?)到F(?)同构映射。
证完
总起来，我们有
定理5 在同构的意义下，存在而且仅存在域F的一个单扩域F(?)，其中?的极小多项式是F[x]的给定的，最高系数为1的不可约多项式。
● 教学重点 代数元，超越元，单代数扩域以及单超越扩域的定义。 ● 教学难点 定理1，2和定理3的证明。
● 教学要求 使学生掌握代数元，超越元，单代数扩域以及单超越扩域的定义，利用这
些定义和定理1，2，3，4，5能证明相关的命题。 ● 布置作业 p160 习题 1，2，3，4。
● 教学辅导 利用参考书，给学生辅导相关的内容。
§5.3 代数扩域
● 课时安排 约2学时。
● 教学内容 （《近世代数基础》 （1978年修订本） 张和瑞 著 p160?164） 上一节结果告诉我们，把域F上一个超越元或一个代数元添加于F所得到的单扩域的结构完全不同。
我们有以下的事实：设E是F的一个扩域，并且E含有F上的超越元。那么总存在E的一个子域T，
F?T?E
使得T是由添加F上的超越元于F而得到的，而F只含T上的代数元。
这一事实的证明已经超出本书的范围。这个事实告诉我们，一个扩域可以分成两部分：一个超越的，一个代数的部分。我们以下将不再讨论超越的扩域，而对代数的扩域作一些进一步的研究。
定义 若域F的一个扩域E的每一个元都是F上的代数元，那么E叫做F的一个代数扩域（扩张）。
我们首先提出 以下问题：假定E =F（S）是添加集合S于域F所得的扩域，并且S的元都是F上的代数元，那么E的元是否都是F上的代数元？ 为了解答这个问题，我们需要扩域的次数这一个概念。
假定E是F的一个扩域。那么对于E的加法和F×E到E的乘法来说，E作成F上的一个
向量空间。作为F上的向量空间，E或者一个维数n，n是正整数；或者是一个无限维空间。 定义 若是域F的一个扩域E作为F上的向量空间有维数n，那么n叫做扩域E在F上的次数，记做（E∶F）。这时E叫做域F的一个有限扩域；否则E叫做域F的一个无限扩域。 关于扩域的次数我们有重要的
定理1 令I是域F的有限扩域，而E是I的有限扩域。那么E也是F的有限扩域，并且
（E∶F）=（E∶I）（I∶F）
证明 （I∶F）=r，（E∶I）=s，而?1,?2,?,?r是向量空间I在域F上的一个基，
?1,?2,?,?s是向量空间E在I上的一个基。看E的元
?i?j （i=1，2，…，r；j=1，2，…，s）
我们只须证明，这rs个元是向量空间E在域F上的一个基。设
?a??ijij?0 （aij?F） ?0， ?aij?i?I
i那么
ji,j?(?a?)?ijij由于?j对于I来说线性无关，我们得
i?a?iji?0 （j=1，2，…，s）
但?i对于F来说线性无关，因而
iaij?0 （i=1，2，…，r；j=1，2，…，s）
这就是说，以上的rs个E的元?i?j对于F来说线性无关。现在假定ω是E的一个任意元。因为?j是I上的E的一个基，
ω=
又由于?i是F上的I的一个基 这样我们有
??jij?j （?j?I）
?j??cij?i （cij?F）
ω=
?c??ijii,jj
这就证明了，?i?j是向量空间E也是F上的一个基。
证完 定理1的直接结果是
推论1 令F,F1,?,Ft是域，其中后一个是前一个的有限扩域。那么以下等式成立：
(Ft:F)?(Ft:Ft?1)(Ft?1:Ft?2)?(F1:F)
现在我们证明下述几个定理来解答前面提出的问题。
定理2 令E?F(?)是域F的一个单代数扩域。那么E是F的一个代数扩域。 证明 令?在F上的极小多项式次数是n，由Ⅴ，2，定理2，E?F(?)的每一个元都可以唯一地表成
a0?a1????an?1?n?1 （ai?F）
的形式。这就是说，元1，?,?,?n?1作成F上向量空间E的一个基，因此E是F的一个n次有限扩域。令?是E的一个任意元。那么1,?,?2,?,?n这n+1个元对于F来说线性相关。因此在F中存在不都等于零的n+1个元b0,b1,?,bn，能使
b0?b1????bn?n?0
这就是说，E的任意元都是F上的代数元，而E是F的代数扩域。
证完
由定理2的证明可以得到以下两个重要事实。
推论2 令F（?）是域F的一个代数扩域，而?在F上的极小多项式的次数是n。那么F（?）是F的一个n次扩域。
推论3 域F的有限扩域一定是F的代数扩域。
定理3 E= F（?1,?2,?,?t），其中每一个?i都是F上的代数元。那么E是F上的有限扩域，因而是F代数扩域。 证明 我们用归纳法。
由定理2，当t=1的时候，定理成立。
假定，当我们只添加t-1个元?1,?2,?,?t?1于F时，定理成立，也就是说，假定
F(?1,?2,?,?t?1)是F的有限扩域。
现在来看F（?1,?2,?,?t）的情形。我们知道，
F（?1,?2,?,?t）=F(?1,?2,?,?t?1)(?t)
由于?t是F上的代数元，所以它也是F(?1,?2,?,?t?1)上的代数元。因此F(?1,?2,?,?t)是F(?1,?2,?,?t?1)的代数扩域。而由推论2，F(?1,?2,?,?t)是F(?1,?2,?,?t?1)的有限扩域。 由于
F?
F(?1,?2,?,?t?1)?F(?1,?2,?,?t)
根据定理1，F(?1,?2,?,?t)是F的有限扩域，于是由推论3，它是F的代数扩域。 证完
推论4 一个域F上的两个代数元的和、差、积与商（分母不为零）仍是F上的代数元。 定理4 令E?F(S)，这里集合S只含域F上的代数元。那么E是F的代数扩域。 证明 令?是E的任意元。根据Ⅴ，1，（1）式，
f1(?1,?2,?,?n)
f2(?1,?2,?,?n)S这里?1,?2,?,?n是中的有限个元素，而f1和f2（?0）是F上这些?的多项式。这样
????F(?1,?2,?,?n)。于是由定理3，?是F上的代数元。
证完 ● 教学重点 代数扩域的定义。
● 教学难点 定理1，2，3，4的证明。
● 教学要求 使学生掌握代数扩域的定义，利用代数扩域的定义以及定理1，2，3，4
能证明相关的命题。 ● 布置作业 p164 习题。
● 教学辅导 利用参考书，给学生辅导相关的内容。
§5.4 多项式的分裂域
● 课时安排 约2学时。
● 教学内容 《近世代数基础》 （1978年修订本） 张和瑞 著 p165?171
我们都知道，所谓代数基本定理是什么。这个定理告诉我们，复数域C上一元多项式环C[x]的每一个n次多项式在C里有n个根，换句话说，C[x]的每一个多项式在C[x]里都能分解为一次因子的乘积。
若是一个域E上的一元多项式环E[x]的每一个多项式在E[x]里都能分解为一次因子的乘积，那么E显然不再有真正的代数扩域。这样的的一个域叫做代数闭域。 我们有以下事实：对于每一个F都存在F的扩域E，而E是代数闭域。
这一事实的证明也已超出本书的范围。 但分裂域的理论可以在一定意义下弥补这一个缺陷。
定义 域F的一个扩域E叫做F[x]的n次多项式f(x)在F上的一个分裂域（或根域），假如
（ⅰ）在E[x]里（有时简称在E里）f(x)可以分解为一次因子积：
f(x)?an(x??1)(x??2)?(x??n) (?i?E)
（ⅱ）在一个小于E的中间域I(F?I?E)里，f(x)不能这样地分解。
按这个定义，E是一个使得f(x)能够分解为一次因子F的最小扩域。我们先看一看，一个多项式的分裂域应该什么性质。
定理1 令E是域F上多项式f(x)的一个分裂域：
（1） f(x)?an(x??1)(x??2)?(x??n) (?i?E) 那么E=F(?1,?2,?,?n)。 证明 我们有
F?
的定义，
F(?1,?2,?,?n)?E。
并且在F(?1,?2,?,?n)中，f(x)已经能够分解成（1）的形式。因此根据多项式的分裂域
E=F(?1,?2,?,?n)
证完 根据这个定理，如果有F上的多项式f(x)的分裂域E存在，那么E刚好是把f(x)的根添