加于F所得的扩域。因此我们也把多项式的分裂域叫做它的根域。现在我们证明多项式的分裂域的存在。
定理2 给了域F上一元多项式环F[x]的一个n次多项式f(x)，一定存在f(x)在F上的分裂域E。
证明 假定在F[x]里，
f(x)?f1(x)g1(x)
这里f1(x)是最高次系数为1的不可约多项式。那么存在一个域
E1?F(?1)
而?1在F上的极小多项式是f1(x)
在E1里f(?1)=0，所以（x―?1）|f(x)，因此在E1里
f(x)?(x??1)f2(x)g2(x)
这里f2(x)是E1[x]里最高次系数为1的不可约多项式。这样，存在一个域
E2?E1(?2)?F(?1)(?2)?F(?1,?2)
而?2在E1上的极小多项式是f2(x)。 在E2[x]里
f(x)?(x??1)(x??2)f3(x)g3(x)
f3(x)是E2[x]里的最高次系数为1的不可约多项式。这样我们又可以利用f3(x)来得到域E3?F(?1,?2,?3)，使得在E3[x]里
f(x)?(x??1)(x??2)(x??3)f4(x)g4(x)
这样一步一步地可以得到域
E=F(?1,?2,?,?n)
使得在E[x]里
f(x)?an(x??1)(x??2)?(x??n)
证完
域F上的多项式F上的多项式f(x)当然可能有不同在F上的分裂域。但是这些分裂域都同构。要证明这一点，我们需要两个引理。
引理1 令L和L两个同构域。那么多项式环L[x]和L[x]也同构。
??a是L与L之间的同构映射。我们规定一个L[x]到L[x]的映射 证明 令a??： ?aixi????aixi
?显然是L[x]与L[x]之间的一一映射。我们看L[x]的两个元f(x)和g(x)：
f(x)=?aixi????aixi=f(x) g(x) =?bixi????bixi=g(x)
那么
?(ai?bi)xi????(ai?bi)xi??(ai?bi)xi
f(x)?g(x)???f(x)?g(x)
?(?ab)xijki?j?kk????(?aibj)xk??(?aibj)xk
ki?j?kki?j?kf(x)g(x)???f(x)g(x)
所以?是同构映射。
证完
L[x]的一个不可约的多项式的象显然是L[x]的一个不可约 在上述的同构映射?之下，
的多项式。
引理2 令L与L是同构的域，p(x)是L[x]的一个最高次系数为1的不可约多项式，
p(x)是与p(x)对应的L[x]的不可约的多项式。又假定L(?)与L(?)各是L与L的单扩
域，满足条件p(?)?0和p(?)?0。那么存在L(?)与L(?)间的一个同构映射，并且这个同构映射能够保持原来的L与L间的同构映射。
证明 假定p(x)的次数是n，那么p(x)的次数也是n。这样，若a???a是L与L间的同构映射，那么
?： ?ai?????ai?
in?1i?0n?1i?0i是一个L(?)与L(?)间的一个一一映射。看L(?)的两个元
f(?)=?ai?，g(?)=?bi?i
in?1i?0n?1i?0由于
?(ai?0n?1i?bi)?????(ai?bi)???(ai?bi)?i
ii?0i?0n?1in?1有 f(?)?g(?)???f(?)?g(?) 我们知道，f(?)g(?)?r(?)，这里
f(x)g(x)?q(x)p(x)?r(x)
由引理1得
f(x)g(x)?q(x)p(x)?r(x)
f(?)g(?)?r(?)
??r(?)?f(?)g(?) 因此 f(?)g(?)?r(?)?这样?是L[?]与L[?]之间的同构映射。
至于?能够保持原来L与L之间的同构映射，显然。
证完
现在我们证明一个多项式的分裂域的唯一性。 我们证明更一般的下述
定理3 F与F是同构的域，F[x]的f(x)与F[x]的f[x]是在引理1的意义下相对应的n次多项式。又假定
E?F(?1,?2,?,?n)是f(x)在F上的一个分裂域，
E?F(?1,?2,?,?n)是f[x]在F上的一个分裂域，
那么在E与E之间存在一个同构映射?，?能够保持F与F之间的同构映射，并且可以分别掉换?i和?j的次序，使在?之下，
???j ?i? 证明 我们已经知道：F?F。假定对于k?n，我们能够分别掉换?i和?j的次序，使得
L?F(?1,?2,?,?k)?F(?1,?2,?,?k)?L
这个同构映射保持F与F之间的同构映射，并且在这个同构映射之下
???j （i?1，2，．．．，k） ?i?设在L[x]里
f(x)?(x??1)(x??2)?(x??k)pk(x)gk(x)
这里pk(x)是L[x]的一个最高系数为1的不可约多项式。有引理1，在L[x]里
f(x)?(x??1)(x??2)?(x??k)pk(x)gk(x)
而pk(x)是L[x]的一个最高系数为1的不可约的多项式。 在F(?1,?2,?,?n)和F(?1,?2,?,?n)里，因子
pk(x)gk(x)和pk(x)gk(x)
进一步分别分解为(x??k?1)?(x??n)和(x??k?1)?(x??n)。分别掉换?k?1,?,?n和
?k?1,?,?n的次序，不妨假定
pk(?k?1)?0， pk(?k?1)?0
于是由定理2
L(?k?1)?F(?1,?2,?,?k?1)?F(?1,?2,?,?k?1)?L(?k?1)
这个同构映射保持F与F之间的同构映射，并且在这个同构映射之下
???j （i?1，2，．．．，k+1） ?i?证完
我们知道，一个n次多项式在一个域里最多有n个根（Ⅳ，6，推论1）。分裂域的存在定理告诉我们，域F上多项式 f(x) 在F的某一个扩域里一定有n个根。分裂域的唯一存在定理告诉我们，用不同的方法找到f(x)两组根，抽象地来看，没有什么区别。这样给了任何一个域F和F上一个n次多项式f(x)，我们总可以谈论f(x)的n个根。因此，分裂域的理论在一定意义下可以代替所谓代数基本定理。
在域F上一个多项式f(x)的分裂域里并不是只有f(x)可以分解成一次因子的乘积。我们有以下重要的
定理4 令E是多项式f(x)在域F上的分裂域，而?是E的一个任意元。那么?在F上的极小多项式在E里分解为一次因子的乘积。
证明 令f(x)在域F上的分裂域是
E?F(?1,?2,?,?n)
假定?在F上的极小多项式g(x)不能在E[x]里分解为一次因子的乘积。那么E[x]里
g(x)?(x??)p(x)g1(x)
而p(x)是E[x]中最高系数为1的不可约多项式，且p(x)的次数m大于1。作单扩域
E(??)?F(?1,?2,?,?n,??)
使得p(??)?0。我们看一看F(??)，由于
g(??)?(????)p(??)g1(??)?0
根据Ⅴ，2，定理4，有
F(??)?F(?)
因而由引理1，有
F(??)[x]?F(?)[x]
而且在这个同构映射之下
f(x)???f(x)
这样，由定理3，f(x)在F(??)上的分裂域与f(x)在F(?)上的分裂域同构。但
F(??,?1,?,?n)是f(x)在F(??)上的一个分裂域，而F(?,?1,?,?n)是f(x)在F(?)上的一个分裂域。因此
F(??,?1,?,?n)?E(?,?1,?,?n) (F(??,?1,?,?n):F)?(E(?,?1,?,?n):F)
但是我们显然有
(F(??,?1,?,?n):F)?(E(??):E)(E:F)?m(E:F)
(F(?,?1,?,?n):F)?(E:F)
由于m?1，这是一个矛盾。
证完
在以下两节中我们要用到分裂域的理论来讨论两种特殊类型的域
● 教学重点 多项式的分裂域的定义。 ● 教学难点 定理1，2，3，4的证明。
● 教学要求 使学生掌握多项式的分裂域的定义，利用多项式的分裂域的定义以及定理
1，2，3，4能证明相关的命题。 ● 布置作业 p171 习题。
● 教学辅导 利用参考书，给学生辅导相关的内容。
§5.5 有限域
● 课时安排 约2学时。
● 教学内容 （《近世代数基础》 （1978年修订本） 张和瑞 著 p171?174
我们要讨论的第一种特殊类型的域是有限域。有限域在实验设计和编码理论中都有应用。 定义 一个只含有限个元素的域叫做有限域。 例如，特征是p的素域就是一个有限域。 先看一看，一个有限域应该有什么性质。
定理1 一个有限域E有pn个元素，这里p是E的特征而n是E在它的素域?上的次数。
证明 E的特征一定是一个素数p，不然的话，E所含的素域已经有无限多个元，E不可能是一个有限域。
把E所含的素域记做?。因为E只有有限个元，所以它一定是?的一个有限扩域而（E：
?）=n。这样，E的每一个元可以唯一地写成
a1?1?a2?2???an?n
的形式，这里ai??，而?1,?2,?,?n是向量空间E在?上的一个基。由于?只有p个元，所以对于每一个ai有p种选择法，因而E一共有pn个元。
定理2 令有限域E的特征是素数p，E所含素域是?，而E有q?pn个元。那么E是多项式
xp?x
在?上的分裂域。任何两个这样的域都同构。
证明 E 的不等于零的元对于乘法来说，作成一个群。这个群的阶是q?1，单位元是1。所以
?q?1?1， ??E， ??0
由于0?0，所以有
q?q??， ??E
因此，用?1,?2,?,?q来表示E的元，在E里多项式
x?x ??(x??i)
pq而且显然
i?1E??(?1,?2,?,?q)
这样E是多项式x?x在?上的分裂域。
p 但特征为p的素域都同构，而多项式x?x在同构的域上的分裂域也同构，所以任何
p有证完
pn个元素的有限域都同构。
现在我们证明有限域的存在。
pn 定理3 令?是特征为p的素域，q?p（n?1）。那么多项式x?x在?上的分裂
域E是一个q个元的有限域。