当n为偶数时,(?2)n?0, 上式不成立;
当n为奇数时, (?2)n??2n??6038,即2?6038,则n?13.
综上,存在符合条件的正整数n,且所有这样的n的集合为?n|n?2k?1,k?N,k?6? 20．（本小题满分14分）
已知曲线C上任意一点到点F(0,1)和直线y??1的距离相等
(Ⅰ)求曲线C的方程;
(Ⅱ) 过点F作直线交抛物线C于A.B两点.若直线AO、BO分别交直线l:y?x?2于M、N两点,求|MN|的最小值.
【改编】改编2013浙江高考
【命题意图】考察圆锥曲线（抛物线）的定义，考察从函数的角度利用圆锥曲线中的点的坐标解决两点间距离的最值问题
【解答】 (Ⅰ)由抛物线的定义知所求曲线为焦点为F(0,1)准线为
ny??1的抛物线，所以抛物线方程是:x2?4y; ????????3分
xxxx(Ⅱ)设A(x1,1),B(x2,2)，,所以kAO?1,kBO?2
4444所以AO的方程是: y?22x1x,, ????????5分 4xx??88?y?1x?y?2x?xM??xN?由?,同理? ??????7分 4 4 4?x4?x12???y?x?2?y?x?2所以|MN|?1?12|xM?xN|?2|88x1?x2?|?82|| ① ?8分 4?x14?x216?4(x1?x2)?x1x2?y?kx?1?x1?x2?4k2?x?4kx?4?0??设AB:y?kx?1,由?2 ????9分
xx??4x?4y?12?且|x1?x2|?(x1?x2)2?4x1x2?4k2?1,代入①得到:
4k2?1k2?1 |MN|?82|, ??????10分 |?8216?16k?4|4k?3|设4k?3?t?0?k?3?t,
4第 11 页 共4页
① 当t?0时 |MN|?8225?t2?6t256?221?2??22,
4ttt所以此时|MN|的最小值是2② 当t2; ????????12分
?0时,
25?t2?6t2565316482, |MN|?82?221?2??22(?)2??22??4ttt52555t所以此时|MN|的最小值是
25482,此时t??,k??; ????????13分 533综上所述: |MN|的最小值是
82; ??????????14分 521．（本小题满分14分）
ex?1设函数f(x)?，x?0．
x（1）判断函数f(x)在?0,???上的单调性；
（2）证明：对任意正数a，存在正数x，使不等式f(x)?1?a成立． 【改编】 【命题意图】（1）考察利用导数研究函数的单调性问题
（2）考察利用导数研究不等式问题
xex?(ex?1)(x?1)ex?1?【解答】（1）f?(x)?， ------2分 2xx2令h(x)?(x?1)e?1，则h?(x)?e?e(x?1)?xe，
x当x?0时，h?(x)?xe?0，∴h(x)是?0,???上的增函数，∴h(x)?h(0)?0，
xxxx故f?(x)?h(x)?0，即函数f(x)是?0,???上的增函数． -------6分 2xex?1ex?x?1（2）f(x)?1?， ?1?xxxx当x?0时，令g(x)?e?x?1，则g?(x)?e?1?0， -----8分
ex?x?1故g(x)?g(0)?0，∴f(x)?1?，
xex?x?1?a，即ex?(1?a)x?1?0，-----------------10分 原不等式化为
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令?(x)?ex?(1?a)x?1，则??(x)?ex?(1?a)，由??(x)?0得：e?1?a，解得x?ln(1?a)， 当0?x?ln(1?a)时，??(x)?0；当x?ln(1?a)时，??(x)?0．
故当x?ln(1?a)时，?(x)取最小值?[ln(1?a)]?a?(1?a)ln(1?a)，-----------------12分 令s(a)?xa11a?ln(1?a),a?0，则s?(a)?????0． 1?a(1?a)21?a(1?a)2故s(a)?s(0)?0，即?[ln(1?a)]?a?(1?a)ln(1?a)?0． 因此，存在正数x?ln(1?a)，使原不等式成立．----------------14分
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2014年高考命题比赛文科数学模拟题—命题细目
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 考察内容及能力 掌握集合的元素的个数即方程解的个数 掌握复数的运算和复数的模 考察含有分式和对数式的函数的定义域 考查三角函数诱导公式 考查流程图的循环结构 考查立体几何中线面位置关系 利用圆心到直线的距离判断直线与圆的位置关系，进而求得两个动点间距离最小值 正确利用三视图求得原几何图型的相关量 利用椭圆的定义和特殊三角形的性质求解椭圆的离心率 考察学生对新概念的理解和应用 考查等比数列的定义 考查曲线的切线问题 在可行域内研究含有几何意义的目标函数问题 考察曲线的极坐标方程与普通方程的转化和直线与圆的相交弦长 考察平面几何中圆和三角形的基础等知识 考察三角函数中倍角公式、和差公式、周期性、单调性等相关基础知识 考察随机数表和古典概型的基础知识 考察三视图、几何体的体积、几何体中的线面关系等基础知识 考察数列的基本量和从函数的角度研究数列问题 考察抛物线的定义和从函数的角度解决两点间距离的最值问题 利用导数研究函数的综合问题 分值 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 12 12 14 14 14 14 第 14 页 共4页