理由：此时∠BCE最小，因此PB最小，（△PBC是直角三角形，斜边BC为定值，∠BCE最小，因此PB最小） ∵AE⊥EC， ∴EC=
=
=
，
由（1）可知，△ABD≌△ACE， ∴∠ADB=∠AEC=90°，BD=CE=∴∠ADP=∠DAE=∠AEP=90°， ∴四边形AEPD是矩形， ∴PD=AE=1， ∴PB=BD﹣PD=
﹣1．
，
b、如图5中，以A为圆心AD为半径画圆，当CE在⊙A上方与⊙A相切时，PB的值最大．
理由：此时∠BCE最大，因此PB最大，（△PBC是直角三角形，斜边BC为定值，∠BCE最大，因此PB最大） ∵AE⊥EC， ∴EC=
=
=
，
由（1）可知，△ABD≌△ACE， ∴∠ADB=∠AEC=90°，BD=CE=∴∠ADP=∠DAE=∠AEP=90°， ∴四边形AEPD是矩形， ∴PD=AE=1，
16
，
∴PB=BD+PD=+1．
﹣1，最大值是
+1．
综上所述，PB长的最小值是
23..分析：（1）延长ED交交AG于点H，易证△AOG≌△DOE，得到∠AGO=∠DEO，然后运用等量代换证明∠AHE=90°
即可；
（2）①在旋转过程中，∠OAG′成为直角有两种情况：α由0°增大到90°过程中，当∠OAG′=90°时，α=30°，α由90°增大到180°过程中，当∠OAG′=90°时，α=150°； ②当旋转到A．O、F′在一条直线上时，AF′的长最大，AF′=AO+OF′=+2，此时α=315°．
解：（1）如图1，延长ED交AG于点H， ∵点O是正方形ABCD两对角线的交点， ∴OA=OD，OA⊥OD， ∵OG=OE，
在△AOG和△DOE中，
∴△AOG≌△DOE， ∴∠AGO=∠DEO， ∵∠AGO+∠GAO=90°， ∴∠AGO+∠DEO=90°， ∴∠AHE=90°， 即DE⊥AG；
（2）①在旋转过程中，∠OAG′成为直角有两种情况： （Ⅰ）α由0°增大到90°过程中，当∠OAG′=90°时， ∵OA=OD=OG=OG′，
∴在Rt△OAG′中，sin∠AG′O==，
∴∠AG′O=30°， ∵OA⊥OD，OA⊥AG′， ∴OD∥AG′，
∴∠DOG′=∠AG′O=30°， 即α=30°；
17
（Ⅱ）α由90°增大到180°过程中，当∠OAG′=90°时， 同理可求∠BOG′=30°， ∴α=180°﹣30°=150°．
综上所述，当∠OAG′=90°时，α=30°或150°．
②如图3，当旋转到A．O、F′在一条直线上时，AF′的长最大， ∵正方形ABCD的边长为1， ∴OA=OD=OC=OB=∵OG=2OD， ∴OG′=OG=∴OF′=2， ∴AF′=AO+OF′=∵∠COE′=45°， ∴此时α=315°．
+2， ，
，
24. 分析：（1）①首先证明△APB，△PEF都是等腰直角三角形，求出PA．PB、PE、PF，再利用勾股定理即可解决
问题．
②连接EF，在RT△PAB，RT△PEF中，利用30°性质求出PA．PB、PE、PF，再利用勾股定理即可解决问题． （2）结论a2+b2=5c2．设MP=x，NP=y，则AP=2x，BP=2y，利用勾股定理分别求出a2、b2、c2即可解决问题． （3）取AB中点H，连接FH并且延长交DA的延长线于P点，首先证明△ABF是中垂三角形，利用（2）中结论列出方程即可解决问题．
（1）解：如图1中，∵CE=AE，CF=BF， ∴EF∥AB，EF=AB=2∵tan∠PAB=1，
∴∠PAB=∠PBA=∠PEF=∠PFE=45°， ∴PF=PE=2，PB=PA=4， ∴AE=BF=
，
=2．
18
∴b=AC=2AE=4，a=BC=4．
故答案为4
，4
．
如图2中，连接EF， ，∵CE=AE，CF=BF， ∴EF∥AB，EF=AB=1， ∵∠PAB=30°， ∴PB=1，PA=
，
在RT△EFP中，∵∠EFP=∠PAB=30°， ∴PE=，PF=， ∴AE==
，BF=
=
，
∴a=BC=2BF=，b=AC=2AE=，
故答案分别为
，
．
（2）结论a2+b2=5c2． 证明：如图3中，连接EF． ∵AF、BE是中线， ∴EF∥AB，EF=AB， ∴△FPE∽△APB， ∴
=
=，
设FP=x，EP=y，则AP=2x，BP=2y， ∴a2=BC2=4BF2=4（FP2+BP2）=4x2+16y2， b2=AC2=4AE2=4（PE2+AP2）=4y2+16x2， c2
=AB2
=AP2
+BP2
=4x2
+4y2
，
∴a2+b2=20x2+20y2=5（4x2+4y2）=5c2． （3）解：如图4中，在△AGE和△FGB中，
，
∴△AGE≌△FGB，
∴BG=FG，取AB中点H，连接FH并且延长交DA的延长线于P点，同理可证△APH≌△BFH，
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∴AP=BF，PE=CF=2BF， 即PE∥CF，PE=CF，
∴四边形CEPF是平行四边形， ∴FP∥CE， ∵BE⊥CE，
∴FP⊥BE，即FH⊥BG， ∴△ABF是中垂三角形， 由（2）可知AB2+AF2=5BF2， ∵AB=3，BF=AD=，
∴9+AF2=5×（）2，
∴AF=4．
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