数学专题之【以圆为基础】精品解析
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中考数学综合题专题训练【以圆为基础的综合题二】专题解析
例1．在平面直角坐标系xOy中，已知动点P在正比例函数y＝x的图象上，点P的横
坐标为m（m＞0）．以点P为圆心，5m为半径的圆交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于C、D两点（点D在点C的上方），点E为平行四边形DOPE的顶点（如图）． （1）写出点B、E的坐标（用含m的代数式表示）；
（2）连接DB、BE，设△BDE的外接圆交y轴于点Q（点Q异于点D），连接EQ、BQ．试问线段BQ与线段EQ的长是否相等？为什么？ （3）连接BC，求∠DBC－∠DBE的度数．
y y
E E
D
P
A O
C 解：（1）B（3m，0），E（m，4m） （2）BQ与EQ相等，理由如下： 易得D（0，3m），作EK⊥y轴于K 则得OB＝OD，EK＝DK
∴△BOD和△EKD均为等腰直角三角形 ∴∠EDB＝90°
∴BE为△EDB外接圆的直径
∴∠EQB＝90°，∴∠QDB＝∠QEB＝45° ∴∠QBE＝45°，∴∠QEB＝∠QBE ∴BQ＝EQ
（3）由（2）知，△BDE为直角三角形 易得DE＝2m，BD＝32m 在Rt△BOC中，BO＝3CO＝3m 在△BDE和△BOC中
DECO1
∠BDE＝∠BOC＝90°，且BD＝BO＝3 ∴△BDE∽△BOC，∴∠DBE＝∠OBC
∴∠∠DBC－∠DBE＝∠DBC－∠OBC＝45°
D P B x A C （备用图） O B x y K D E F A C O P B x 1
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——————————————————————————————————————— 2．如图1，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，且OA＝2，OC＝1，矩形对角线AC、OB相交于点E，过点E的直线与边OA、BC分别相交于点G、H．
（1）①直接写出点E的坐标：____________；
②求证：AG＝CH；
（2）如图2，以O为圆心、OC为半径画弧交OA于点D，若直线GH与弧CD所在的圆相切于矩形内一点F，求直线GH的函数关系式；
（3）在（2）的结论下，梯形ABHG的内部有一点P，当⊙P与HG、GA、AB都相切时，求⊙P的半径．
y y y
H H H B B C C C F F E E E
O 图1
B G A x O D 图2
G A x O D 备用图
G A x 1
解：（1）①（1，）
2
②证明：在矩形OABC中，∵EA＝EC，OA∥BC ∴∠GAE＝∠HCE
又∵∠GEA＝∠HEC，∴△AGE≌△CHE ∴AG＝CH
（2）连接ED、OF、OB
∵D为OA中点，E为OB中点 11
∴ED＝AB＝，且ED∥AB
22
y C H B E D G A x
∴∠EDO＝∠BAO＝90°，∴ED切⊙O于D 1
又直线GH切⊙O于F，∴EF＝ED＝
2
F
又∵HC是⊙O的切线，∴HF＝HC
设AG＝m，则HC＝HF＝AG＝m，OG＝2－m 1
由（1）可知，EH＝EG，∴EG＝＋m，FG＝1＋m
2
O
在Rt△OFG中，OG ＝OF ＋FG 1222
∴(2－m)＝1＋(1＋m)，解得m＝
3
222
55
∴OG＝2－m＝，∴点G坐标为（，0）
33
2
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15
设直线GH的函数关系式为y＝kx＋b，将点E（1，）、G（，0）代入
23
?2＝k＋b?k＝－4
得? 解得?
55?0＝3k＋b?b＝4
13
35∴直线GH的函数关系式为y＝－x＋ 44
（3）连接BG，作∠BAO的平分线交BC于点M，交BG于点P 55
由（2）知，BH＝，GH＝，∴BH＝GH，∴∠HBG＝∠HGB
33
∵BC∥OA，∴∠HBG＝∠AGB，∴∠HGB＝∠AGB
即GB平分∠HGA，∴点P即为所求圆的圆心 ∵AM平分∠BAO，∴∠BAM＝45°
∴MB＝AB＝1，∴MC＝1，∴M（1，1） 设直线AM的函数关系式为y＝k1x＋b1
???0＝2k1＋b1?k1＝－1则? 解得? ?1＝k1＋b1?b1＝2??
y C H M E D P G A x B F ∴y＝－x＋2
设直线BG的函数关系式为y＝k2x＋b2 5
∵B（2，1）、G（，0）
3
O
1＝2k2＋b2????k2＝3∴? 解得? 5
?b＝－50＝k＋b?1??322
∴y＝3x－5
?x＝4??y＝－x＋271
由? 解得? ∴点P坐标为（，）
441??y＝3x－5
?y＝4
7
1
∴⊙P的半径为 4
3
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——————————————————————————————————————— 3．如图，⊙O的圆心在坐标原点，半径为2，直线y＝x＋b（b＞0）与⊙O交于A，B两点，点O关于直线y＝x＋b的对称点为点O′．
y （1）求证：四边形OAO′B是菱形；
（2）当点O′ 落在⊙O上时，求b的值．
B O
O x
A
y （1）证明：∵点O与点O′ 关于直线y＝x＋b对称
∴直线y＝x＋b是线段OO′ 的垂直平分线
B ∴AO＝AO′，BO＝BO′OP 又∵OA，OB都是⊙O的半径，∴OA＝OB M ∴AO＝AO′＝BO＝BO′N B是菱形 ∴四边形OAO′O x A （2）解：如图，连接OO′ 交直线y＝x＋b于点M 1
′当点O′落在⊙O上时，有OM＝
2OO＝1
∵直线y＝x＋b与x轴、y轴的交点坐标分别是N（－b，0）、P（0，b） ∴△ONP为等腰直角三角形，∴∠ONP＝45° 又∵OM＝1，∴OP＝2，即b＝2
4．如图所示，AC⊥AB，AB＝23，AC＝2，点D是以AB为直径的半圆O上一动点，DE⊥CD交直线AB于点E，设∠DAB＝α（0°＜α＜90°）．
︵（1）当α＝18°时，求BD的长； （2）当α＝30°时，求线段BE的长；
（3）若要使点E在线段BA的延长线上，则α的取值范围是______________．（直接写出答案）
C
D
α B A O E 解：（1）连接OD
在⊙O中，∵α＝18°，∴∠DOB＝2α＝36°
︵36π×33πC ∵AB＝23，∴BD的长为 180＝5 D （2）∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°
4
A α O E B
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——————————————————————————————————————— ∵α＝30°，AB＝23，∴BD＝3，AD＝AB·cos30°＝3 ∵AC⊥AB，∴∠CAB＝90°，∴∠CAD＋α＝90° ∵∠ADB＝90°，∴α＋∠B＝90°，∴∠CAD＝∠B ∵DE⊥CD，∴∠CDE＝90°，∴∠CDA＋∠ADE＝90° ∵∠ADE＋∠EDB＝90°，∴∠CDA＝∠EDB
ACAD
∴△CDA∽△EDB，∴BE＝BD 2323∴BE＝，∴BE＝3
3
（3）60°＜α＜90° 提示：如图，当E与A重合时 ∵AB是直径，AD⊥CD，∴∠ADB＝∠ADC＝90° C D ∴C、D、B三点共线 D在Rt△ABC中，AB＝23，AC＝2
AC3∴tan∠ABC＝AB＝3，∴∠ABC＝30° B E′ A O (E) ∴α＝∠DAB＝90°－∠ABC＝60°
当E′ 在BA的延长线上时，有∠D′AB＞∠DAB ∴α＞60°
又∵0°＜α＜90°，∴60°＜α＜90° 5．（江苏宿迁）如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠ABC＝90°，CD与以AB为直径的半圆相切于点E，EF⊥AB于点F，EF交BD于点G．设AD＝a，BC＝b．
C （1）求CD的长度（用a、b表示）；
（2）求EG的长度（用a、b表示）；
（3）试判断EG与FG是否相等，并说明理由．
E
α
解：（1）∵∠DAB＝90°，∴DA为⊙O的切线 又∵CD为⊙O的切线，∴DA＝DE 同理，CE＝CB
又∵AD＝a，BC＝b，∴CD＝CE＋ED＝BC＋AD＝b＋a＝a＋b （2）∵EF⊥AB，∴∠AFE＝90°
又∵∠ABC＝90°，∴∠AFE＝∠ABC＝90° ∴EF∥CB，∴△DGE∽△DBC EGDEEGa∴CB＝DC，即b＝a＋b
D A G F O B
C
ab
∴EG＝a＋b
E D
（3）EG＝FG
DGDEa
理由：∵△DGE∽△DBC，∴DB＝DC＝a＋b
G F O B
A 5