数学专题之【以圆为基础】精品解析
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y （3）连接AM，AF
∵EF切⊙A于点F，∴∠AFG＝90°
C 又∵AM⊥BC，EF⊥BC，∴四边形AFEM是矩形
M ∴∴EF＝AM＝5，AF∥BC ∴∠GAF＝∠CBO E B 315x O A G ∴FG＝AF·tan∠GAF＝AF·tan∠CBO＝5×4＝4
155FG
∴EG＝EF－FG＝5－4＝4，∴EG＝3
F
（4）（0，0）或（0，2）或（0，－8）或（0，3－41） 提示：
①当∠PQM＝90°时，MQ＝PQ ∵M（4，4），∴∠MOB＝45°
由对称性知，M、P两点关于x轴对称 ∴点Q与原点O重合 ∴Q（0，0）
②当∠PMQ＝90°时，MQ＝MP
作MH⊥x轴于H，MG⊥y轴于G，则MG＝MH，∠GMH＝90° ∴∠GMQ＝∠HMP＝90°－∠QMH
∴△MGQ≌△MHP，∴∠MHP＝∠MGQ＝90° ∴点P在x轴的正半轴上，即点P是⊙A与x轴正半轴的交点 ∴GQ＝HP＝5＋1－4＝2，∴QO＝4－2＝2 ∴Q（0，2）
③当∠MPQ＝90°时，PM＝PQ 设P（m，n），Q（0，t），分两种情况： i）若点P在y轴右侧的⊙A上
作PG⊥y轴于G，MH⊥PG于H，则△PGQ≌△MHP，得：
y M (Q) O A P x y G Q O A M H P x y M O G Q A H P ?m－4＝n－t ①?
?4－n＝m ②
222??(m－1)＋n＝5 ③
x 5－415＋41??m＝m＝??22由②、③解得?（舍去）? 3＋413－41???n＝2?n＝2
y G P Q O A x H M
5＋413－41
把m＝2，n＝2代入①，得t＝3－41
∴Q（0，3－41）
ii）若点P在y轴左侧的⊙A上，则：
y M ?4－m＝n－t ④?
?4－n＝－m ⑤
222??(m－1)＋n＝5 ⑥
P O A H x 11 Q 数学专题之【以圆为基础】精品解析
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?m＝1?m＝－4??
由⑤、⑥解得?（舍去）?
??n＝5n＝0??
把m＝－4，n＝0代入④，得t＝－8
∴Q（0，－8）
综上所述，点Q的坐标为（0，0）或（0，2）或（0，－8）或（0，3－41）
11．（陕西某校自主招生）如图，在平面直角坐标系中，点A（－3，0），点B（－23，1），连接AB，将线段AB向右平移，得到线段A′B′，设A′（t，0）． （1）若在y轴上始终存在点P，使得∠A′PB′＝90°，求t的取值范围； （2）若在y轴上始终存在点P，使得∠A′PB′＝60°，求t的取值范围； （3）若在y轴上存在三个点P，使得∠A′PB′＝30°，求t的值．
y
B
x A O
解：（1）由A（－3，0），B（－2，3），得A′B′＝AB＝2，∠2＝∠1＝30° 当A′B′在y轴左侧时，以A′B′为直径作⊙C1 当⊙C1与y轴相切于点P时，∠A′PB′＝90°
y 13
·cos30°∴C1A′＝C1P＝2A′B′＝1，∴OA′＝C1P－C1A′＝1－2
B
B′ C1 1
3
∴t1＝2－1
P 2 当A′B′在y轴右侧时，以A′B′为直径作⊙C2 当⊙C2与y轴相切于点P时，∠A′PB′＝90°
A A′ O x y 13
·cos30°∴C2A′＝C2P＝2A′B′＝1，∴OA′＝C2P＋C2A′＝1＋2
B′ P O C2 A′ x 3
∴t2＝2＋1
33
∴t的取值范围是：2－1≤t≤2＋1
y
（2）当A′B′在y轴左侧时，以A′B′为边在A′B′上方作等边△A′B′D 作等边△A′B′D的外接圆⊙C1
当⊙C1与y轴相切于点P时，∠A′PB′＝60° 易知此时DA′⊥x轴，∴C1P⊥DA′
D B′ C1 P 1
′′2AB2313
∴C1A′＝C1P＝cos30°＝3，OA′＝2C1P＝3
y B′ (P) O
A′ O x
12
C2 A′ x 数学专题之【以圆为基础】精品解析
——————————————————————————————————————— 3
∴t1＝－3
当A′B′在y轴右侧时，以A′B′为边在A′B′下方作等边△A′B′D 作等边△A′B′D的外接圆⊙C2
当⊙C2与y轴相切于点P时，∠A′PB′＝60° 易知此时B′D⊥x轴，∴C2P⊥B′D，点C2在x轴正半轴上，点P与原点O重合
A′B′43∴OA′＝cos30°＝3
43∴t2＝3
343
∴t的取值范围是：－3≤t≤3
（3）以A′B′为边分别在A′B′上方和下方作等边△A′B′C1和等边△A′B′C2，分别以C1、C2为圆心，A′B′长为半径作⊙C1和⊙C2 当A′B′在y轴左侧时，若⊙C1与y轴相交于点P1、P2，⊙C2与y轴相切于点P3，则在y轴上存在三个点P，使得∠A′PB′＝30° 易知此时B′C2⊥x轴，C2P3＝C2A′＝A′B′＝2
·cos30°∴OA′＝C2P3－C2A′＝2－3 ∴t1＝3－2 当A′B′在y轴右侧时，若⊙C1与y轴相切于点P1，⊙C2与y轴相交于点P2、P3，则在y轴上存在三个点P，使得∠A′PB′＝30° 易知此时B′C2⊥x轴，OA′＝C1P1＝C1A′＝A′B′＝2 ∴t2＝2 y y P1
C1 C1 P1
B′ B P2 B′
P2
x A O A′ O A′
P3 C2 C2
P3
x 13
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——————————————————————————————————————— 12．（陕西模拟）如图，直线l1、l2相交于点O，∠l1Ol2＝60°，长为2的线段AB在直线l2上从右向左移动，点P是直线l1上一点，且∠APB＝30°．
（1）请在图中作出符合条件的点P（不写画法，保留作图痕迹）；
（2）当OA的长为多少时，符合条件的点P有且只有一个？请说明理由；
（3）是否存在符合条件的点P有三个的情况？若存在，求出OA的长；若不存在，请说明理由． l1 l1
l2 l2
O O A B
备用图
解：（1）如图（以AB为边在x轴上方作等边三角形ABC，以C为圆心，AB长为半径作圆，与直线l1有两个交点P1、P2，则P1、P2是符合条件的点）
l1
P1
C
P2 l2
O A B
44
（2）当A在O的右侧，OA＝33或A在O的左侧，OA＝33＋2时符合条件的点P有且
只有一个 理由如下：
当直线l1与⊙C相切于点P，且A在O的右侧时，则∠APB＝30° 连接CP，过A作AD⊥l1于D AD4
则AD＝CP＝2，∴OA＝sin60°＝33
l1 P C D O A B l2 l1 A B O E C P l2
当直线l1与⊙C相切于点P，且A在O的左侧时，则∠APB＝30° 连接CP，过B作BE⊥l1于E BE4
则BE＝CP＝2，∴OB＝sin60°＝33
4
∴OA＝33＋2
（3）存在
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44
当A在O的右侧，OA＝33－2或A在O的左侧，OA＝33时，
符合条件的点P有三个
当直线l1与⊙C1相交于点P1、P2，与⊙C2相切于点P3时 连接C2P3，过O作OF⊥BC2于F BE4
则OF＝C2P3＝2，∴OB＝sin60°＝33
P1 C1 P2 O P3 A C2 l1 C1 l2
P2 P1 B O G C2 P3 l1
4
∴OA＝33－2
当直线l1与⊙C1相切于点P1，与⊙C2相交于点P2、P3时 连接C1P1，过A作AG⊥l1于G AG4
则AG＝C1P1＝2，∴OA＝sin60°＝33
B F A
13．（陕西模拟）已知⊙O是△ABC的外接圆，点P是⊙O上的任意一点（不与A、B、C重合），⊙P在△ABC的外部且与△ABC相邻的一边相切，⊙P称为△ABC的“卫星圆”．过与P相邻的△ABC的两个顶点作⊙P的切线交于S，两切线和与⊙P相切的一边组成的三角形称为△ABC的“卫星三角形”（如图1中的△SAC）．
（1）如图1，若△ABC为等边三角形，⊙O的半径为r．
①∠S的大小是否发生变化，若无变化，求∠S的大小，若有变化，说明变化趋势；
②当点P在劣弧AC上运动时，⊙P与边AC相切于D点，设AD＝x，⊙P的半径为y，求y关于x的函数关系式；
（2）如图2，若△ABC中，AC＝BC，∠C＝120°，⊙O的半径为r，点P在优弧AB上，⊙P与直线AB相切（切点不是A、B），求“卫星三角形”的面积最大值．
S
A
P D
O O
B C A B
C
图1 解：（1）①∠S的大小不变
连接PA、PC
∵△ABC为等边三角形，∴∠B＝60° ∴∠APC＝120°
在△APC中，∠APC＝180°－(∠PAC＋∠PCA)
图2
S A D O B C P 1
＝180°－2(∠SAC＋∠SCA)
1
＝180°－2(180°－∠S)
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