数学专题之【以圆为基础】精品解析
——————————————————————————————————————— 18．（黑龙江大庆）已知半径为1cm的圆，在下面三个图中AC＝10cm，AB＝6cm，BC＝8cm，在图2中∠ABC＝90°．
（1）如图1，若将圆心由点A沿A→C方向运动到点C，求圆扫过的区域面积； （2）如图2，若将圆心由点A沿A→B→C方向运动到点C，求圆扫过的区域面积； （3）如图3，若将圆心由点A沿A→B→C→A方向运动回到点A．
则Ⅰ）阴影部分面积为_____________；Ⅱ）圆扫过的区域面积为_____________． A A
A C
图1
B C B
图2 图3
解：（1）圆经过的区域可分为两个半圆和一个矩形，面积为10×2＋π×1＝20＋π
2
（2）仿照（1）A到B的过程中圆扫过的面积为6×2＋π×1＝12＋π
2
B到C的过程中圆扫过的面积为8×2＋π×1＝16＋π 圆中阴影部分被计算了两次
C 2
3π5π
所以此圆经过的区域面积为12＋π＋16＋π－1－4＝27＋4
（3）6；42＋π 19．（辽宁鞍山）如图，AB是⊙O的弦，AB＝4，过圆心O的直线垂直AB于点D，交⊙O于1
点C和点E，连接AC、BC、OB，cos∠ACB＝3，延长OE到点F，使EF＝2OE．
C
（1）求⊙O的半径；
（2）求证：BF是⊙O的切线．
（1）解：∵CE是⊙O的直径，CE⊥AB 11
∴BD＝2AB＝2×4＝2，∠BOD＝∠ACB
O A D E B
1OD1
∵cos∠ACB＝3，∴在Rt△BOD中，cos∠BOD＝OB＝3
设OD＝x ，则OB＝3x
∵OB ＝OD ＋BD ，∴9x＝x＋2
222222
F 22
解得：x1＝2，x2＝－2（舍去）
3232
∴OB＝3x＝2，即⊙O的半径为 2
（2）证明：∵EF＝2OE，OE＝OB
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OB1
∴OF＝3OB，∴OF＝3
OD1ODOB∵OB＝3，∴OB＝OF
又∵∠BOD＝∠FOB，∴△BOD∽△FOB ∴∠OBF＝∠ODB＝90°，∴OB⊥BF ∵OB为⊙O的半径，BF是⊙O的切线
20．（四川成都）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于F，切点为G，连接AG交CD于K．
A （1）求证：KE＝GE； C （2）若KG ＝KD·GE，试判断AC与EF的位置关系，并说明理由；
3
（3）在（2）的条件下，若sinE＝5，AK＝25，求FG的长．
2
H O B F G E K D
解：（1）连接OG
∵EF为⊙O的切线，∴OG⊥EF ∴∠OGA＋∠KGE＝90°
∵CD⊥AB，∴∠OAG＋∠HKA＝90° ∵OA＝OG，∴∠OGA＝∠OAG ∴∠KGE＝∠HKA，∴KE＝GE
（2）AC与EF的位置关系是AC∥EF 理由如下： 连接DG
∵KG ＝KD·GE＝KD·KE，∴2
C H O B F
A K D G E KGKE
＝ KDKG
∵∠DKG＝∠GKE，∴△KDG∽△KGE ∴∠AGD＝∠E
又∵在⊙O中，∠AGD＝∠ACD ∴∠E＝∠ACD，∴AC∥EF
3
（3）∵∠ACH＝∠E，∴sin∠ACH＝sinE＝
5
在Rt△ACH中，设AH＝3t，则AC＝5t，CH＝4t
由AC∥EF，易得△ACK是等腰三角形，CK＝AC＝5t ∴HK＝CK－CH＝t
在Rt△AHK中，由勾股定理得AH ＋HK ＝AK
222
即(3t)＋t ＝(25)，解得t＝2 ∴AH＝32，CA＝CK＝52 连接BC
222
由△ACH∽△ABC，得AC ＝AH·AB（或由射影定理得）
2
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(52)AC 252
∴AB＝＝＝
AH332
34
在Rt△EFH中，由sinE＝ 可得tanF＝ 53
在Rt△OFG中，tanF＝
OG4＝ FG3
33252
∴FG＝OG＝AB＝
488
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