x2y28．设A?0,b?，点B为双曲线C:2?2?1(a?0，b?0)的左顶点， ab3线段AB交双曲线一条渐近线于C点，且满足cos?OCB?，则该双
5曲线的离心率为 ( ) A．yC AO xB 5 2 B．3 C．
5 3
D．5 9．已知函数f（x）=
（第8题） ，则下列关于函数y?f(f(kx)?1)?1(k?0)的零点个数的判断，
正确的是（ C ）
A． 当k＞0时，有3个零点；当k＜0时，有4个零点 B． 当k＞0时，有4个零点；当k＜0时，有3个零点 C． 无论k为何值，均有3个零点 D． 无论k为何值，均有4个零点
AD的中点，点P在面BCC1B1所在的平面内，10．设点M是棱长为2的正方体ABCD?A1BC11D1的棱
若平面D1PM分别与平面ABCD和平面BCC1B1所成的锐二面角相等，则点P到点C1的最短距离是（ A ） A．
2526 B. C．1 D．523
非选择题部分 (共110分)
二、填空题：本大题共7小题，共36分。多空题每小题6分；单空题每小题4分。 11．设a?R，若复数z=
a?i（i为虚数单位）的实部和虚部相等，则a?_________，|z|? _________． 1?i0，
2 212．已知(1?ax)n?a0?a1x?a2x2?????anxn，若a1?4，a2?7，则a的值为，n的值为．
1 8 213．在?ABC中，若?A?120?，AB?1,BC?13,BD?1DC，则AC? ；AD? ． 23；
7 3d2dx?(a1?)x?c?0的解集为[0，10]，2214．若等差数列?an?的首项为a1，公差为d，关于x的不等式则c?，使数列?an?的前n项和Sn最大的正整数n的值是．
0, 5
15．某学校在一天上午的5节课中，安排语文、数学、英语三门文化课和音乐、美术两门艺术课各1节,且相邻两节文化课之间最多安排1节艺术课.则不同的排课方法共有_种(用数字作答). 96
???16．已知平面向量a,b，满足|a|?|b|?a?b?2，且(a?c)?(b?c)?0，记f(?)?|?a?b?c|的最小
??值为M(c).则M(c)的取值范围是.
[3333?1,?1]． 2217．已知x,y?0，且x?y?1119371的最小值是.? ??，则?4x2y4x16y三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 18．(本题满分14分) 已知函数f(x)?23sinxcosx?2cos2x?1. （1）求f(x)的最小正周期；
（2）若f(x)?m在x?[0,]上恒成立，求m的取值范围． 【解析】（1）f(x)?3sin2x?cos2x?2sin(2x??2?6)，--------6分（每次合成都得2分）
?f(x)最小正周期为T?π，--------------8分
（2）f(x)最小值?m，，-------------10分，?x?[0,故??2],???6?2x??6?5?, 61??sin(2x?)?1，------------12分，得m??1-----------14分 2619．(本题满分1５分)如图，?ABC中，AB=AC=2，
2?BAC?1200，D为线段BC上一点，且DC?BC，
5让?ADC绕直线AD翻折到?ADC'且使AC'?BC．
（1）在线段BC上是否存在一点E，使
平面AEC'?平面ABC？请证明你的结论．
（2）求直线C'D与平面ABC所成的角．
(1)取BC中点为E,由题意知AE⊥BC，又因为AC′⊥BC，所以BC⊥平面AE C′，因为BD在平面ABC内，?所以平面
AE C′⊥平面ABC．????7分
(2)在平面AC′E 中，过C′作C′H⊥AE 交AE 于点H，连接HD． 由（Ⅰ）知，C′H⊥平面ABC，所以∠C′DH 为直线C′D 与平面ABC所成的角．由AB＝AC＝2，BC＝23 ,
DC?433355,ED?,EC'?,cos?AEC'??5555 ,所以
cos?HEC'?525,sin?HEC'?55，所以
HC'?65，所以
HC'3sin?HDC??,所以?HDC'=600????15分 'DC2'20．（本题满分15分）设函数f?x???x?1?e?kx(其中k?R).
x2(1) 当k?1时,求函数f?x?的单调区间； (2) 当k???1?,1?时,求函数f?x?在?0,k?上的最大值M(k). 2??x2xxxx解：(1) k?1时, f?x???x?1?e?x,f??x??e??x?1?e?2x?xe?2x?xe?2 （2分）
??令f??x??0,得x1?0,x2?ln2 ，（2分） 可知,函数f?x?的递减区间为?0,ln2?,递增区间为
???,0?,?ln2,???. （3分）
xxxx(2) f??x??e??x?1?e?2kx?xe?2kx?xe?2k,令f??x??0,得x1?0,x2?ln?2k?,
??令g?k??ln?2k??k,则g??k??所以g?k?在?11?k?1??0, kk?1?,1?上递增 ?2?所以g?k??ln2?1?ln2?lne?0,从而ln?2k??k,所以ln?2k???0,k?,............. (9分） 所以当x?0,ln?2k?时,f??x??0;当x?ln?2k?,??时,f??x??0;
k3所以M?maxf?0?,f?k??max?1,?k?1?e?k ...............(12分）
????????k3kkk令h?k???k?1?e?k?1,则h??k??ke?3k,令??k??e?3k,则???k??e?3?e?3?0
??所以??k?在?3??1???1?,1?上递减,而??????1???e???e?3??0
2??2???2??1??1?,1?使得??x0??0,且当k??,x0?时,??k??0,当k??x0,1?时,??k??0, ?2??2???所以存在x0??所以??k?在?,x0?上单调递增,在?x0,1?上单调递减.
?1?2因为h?17?1??1?,,所以在h1?0hk?0??e??0??????,1?上恒成立,当且仅当k?1时取得
28?2??2?“?”.
综上,函数f?x?在?0,k?上的最大值M(k)??k?1?e?k. .............(15分)
k3xy
21．（本题满分15分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的右焦点F(1,0)，过F且
ab垂直于x轴的弦长为3，直线l与圆(x?1)2?y2?1相切，且与椭圆C交于A,B两点，Q为椭圆的右顶点。（1）求椭圆C的方程；
（2）用S1,S2分别表示△ABF和△ABQ的面积，求S1?S2的最大值。
22
2b2x2y2?3，得椭圆?解：（1）由已知c=1 ,?1---------------4分 a43（2）当l斜率不存在时，AB=23,得S1?S2=6-------------------6分
当l斜率存在时，设为直线为y?kx?m
l与圆(x?1)2?y2?1相切，得m2?2km?1.........(*) ---------7分 l与椭圆联立得(3?4k2)x2?8kmx?4m2?12?0，
?8km4m2?12,x1x2?所以x1?x2?- ---------------------------8分 223?4k3?4k|AB|=1?k|x1?x2|?431?k223?m2?4k2 --------------------------10分 23?4k ---------------------------------11分
d为Q到直线的距离，则d?|2k?m|1?k2223?m?4k|2k?m|112 ------------------12分 S1?S2=|AB|?1?|AB|?d=121?k22223?4k?????m2?1?2将（*）式代入得S1?S2=6?4，令t?m?1?(1,??)-----------------13分 ?2?m?m?1?2???1?原式=6???6。综上，S1?S2的最大值为6 ------------------15分
1?t??1??t?222．（本题满分15分）已知数列{an}满足an+1=can?1?c，n?N*，其中常数c?(0,2]。
2（1）若a2?a1，求a1的取值范围
（2）若a1?[?1,1]，求证：对于任意的n?N*，均有an?[?1,1]
（3）当常数c?2时，设Tn?2na1a2?an，若存在实数A使得|Tn|?A恒成立，求a1的取值范围.
2解（1）由已知得，n?1时，a2?ca1?1?c
?ca12?1?c?a1?[ca1?(1?c)](a1?1)?01?c?0?[a1?(?1)](a1?1)?0c111若c?(0,)则?1?1则a1?1或a1??12cc
111若c?[,2]则?1?1则a1?1或a1??12cc（2）
用数学归纳法证明an?[?1,1]当n?1时an?[?1,1]成立假设n?k时ak?[?1,1]则当n?k?1时1?ak2?[0,1]又?c?(0,2]?c(1?ak2)?[0,2] ?ak?1?cak2?1?c?1?c(1?ak2)?[?1,1]即n?k?1时命题也成立?对n?Z?有an?[?1,1]（3）
当|a1|?1时用数学归纳法证明|an|?1当n?1时|a1|?1成立
假设n?k时|ak|?1则当n?k?1时ak?1?2a?1?2|ak||ak|?1?2|ak|?|ak|?|ak|?|ak?1|?|ak|?1即n?k?1时命题也成立?|Tn|?2n|a1||a2|?|an|?2n易知不存在A使2n?A恒成立因此对n??*有|an|?1
2k
当| a1|?1时，由（2）知an?[?1,1]
若存在an0?0则对n?n0Tn?a1a2?an0?an?0,对任意A?0,Tn?A而对n?n0.则必不存在an??1否则将推出an0?1,矛盾法一：
2?an?1?2an?1242?an?1?4an?4an?12n2 an?1?1?4a?2an?12n
?a2n?1?1?4a?4a4n22ak?1a?1?1?1 ?T?(2a1a2?an)?4aa?a?4a?4a?4a??2?n2a1?1k?1ak?12nn2n22122n21222nn2?an?1?[?1,1]?1?an?1?[0,1]又1?a12?0?Tn?11
?|T|?n1?a121?a12故存在A?11?a21使得|Tn|?A恒成立
综上所述，a1?(?1,1)法二
可设an?cosbn2?cosbn?1?2cosbn?1?cos2bn可取bn?1?2bnsinbn?1?2an?2cosbn?sinbnTn?2a1a2?an?2a1?2a2?2an??nk?1n
sinbk?1sinbn?1?sinbksinb1
?|Tn|?|sinbn?1|1?|sinb1||sinb1|取A?1即可|sinb1|综上所述，a1?(?1,1)
18．(本题满分14分)
已知函数f(x)?23sinxcosx?2cos2x?1. （1）求f(x)的最小正周期； （2）若g(x)?sin(2x???)?m在x?[0,]上有两个零点，求m的取值范围. 62【解析】（1）f(x)?3sin2x?cos2x?2sin(2x??6)，--------6分（每次合成都得2分）
?f(x)最小正周期为T?π，--------------8分，
令2x??6?k?,得x?k??k???,0)，k?Z；-------------8分 ??f(x)对称中心为(212212（3）令sin(2x??6)?m?0，得sin(2x??6)?m，-------------10分
???5??x?[0,],???2x??,------------12分
266611?故??sin(2x?)?1，得?m?1-----------14分
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