第一章 绪论
§1.1 学习指导
本章主要介绍量子力学建立过程中的一些关键性实验和重大理论突破，这些内容对于量子力学基本概念的形成和基本理论的构建非常重要。在学习本章内容时，要特别注意能量子概念的形成、玻尔-索末菲量子化条件的意义和应用、以及微观粒子波粒二象性的表示与涵义。
本章的主要知识点有 1．黑体辐射的普朗克公式
普朗克在维恩公式和瑞利-琼斯公式的基础上，用内插法得出了黑体辐射（空腔辐射）的能量密度随着频率?分布的规律
8?h?31 ??(?,T)? (1-1)
c3eh?/kBT?1表示单位频率间隔中，黑体辐射的能量密度随频率高低的变化。普朗克公式与实验结果完全一致，但是在经典物理学中却无法解释。对普朗克公式的深入分析表明：空腔中的电磁辐射能量不是连续的，而是量子化的。频率为?的电磁辐射能量有一个最小单位??h?，称为能量子，其中h?6.626?10倍。
2．玻尔-索末菲的量子化条件
量子化现象不仅存在于电磁辐射中，也存在于电子等实体粒子中；不仅存在于简谐振动、氢原子等情况，也存在于其它束缚态；不仅存在于能量中，也存在于其它力学量的取值中。量子化是微观运动的普遍特征，通过对实验结果的分析，玻尔和索末菲发现一个周期系统的广义坐标和对应的广义动量满足如下量子化条件
?34(J?s)称为普朗克常量，电磁能量的变化量只能是能量子的整数
??pdq?nh,??pdq?(n?12n?N (1-2)
后来发现微观系统的基态存在着零点能量，上式又修正为
)h,n?N (1-3)
量子化条件虽然在经典物理学中找不到理论依据，但可以统一给出不同微观系统中能量的量子化数值，并得到了实验的支持。在量子力学建立之前，量子化条件对人们认识微观现象起了重要的作用。
1
3．波粒二象性的德布罗意公式
能量子发现后，爱因斯坦通过对普朗克公式和光电效应等问题的研究，进一步发现电磁辐射不仅在能量取值上具有颗粒性，而且在空间分布上也具有颗粒性。这种电磁颗粒具有独立的能量和动量，后来被称为光子。电磁辐射的颗粒性与波动性并不排斥，它们都是电磁辐射的表现形式，两者之间具有关系
?v??E?h??h?v (1-4) v??p?hn/??hk其中E和p表示电磁辐射的能量和动量，?、?、?和k分别表示电磁辐射的波长、频率、圆频率和波矢量，n为波矢量方向的单位矢量，h?h/(2?)称为狄拉克常量。
后来，德布罗意发现提出(1.4)也适用于电子等实体粒子，并得到了电子衍射实验的支持，成为人类认识微观对象的有力工具，公式(1.4)也被称为德布罗意关系。
在一般情况下，质量为m的粒子的动能E为总能量mc与静质量能m0c2之差，即
2vvvE?mc2?m0c2
22其中质量m与静止质量m0之间的关系为m?m0/1?v/c。而动量为p?mv，由此得
到
22m0c?m2c2?m2v2?m2c2?p2
于是可推出动量与动能之间的一般关系
2222p2?m2c2?m0c?(E/c?m0c)2?m0c?(E/c)2?2m0E (1-5)
利用(1.5)式，我们容易根据粒子的动能计算出它的德布罗意波长。在极端相对论情况下，例如光子，有E??m0c2，(1.5)式近似为p?E/c ；在非相对论情况下，例如低速电子，有E??m0c2，(1. 5)式近似为p?2m0E。
德布罗意公式说明了微观物体同时具有波动性和粒子性，简称波粒二象性。波长越长，对应的波动性效应越显著；波长越短，对应的粒子性效应越显著。
§1.2 习题分析与求解
1.1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长?m与温度T成反比，即
2
?mT?b（常量）
并近似计算b的数值，准确到二位有效数字. 【题意分析】
已知条件：单位频率间隔中，黑体辐射的能量密度?的分布规律，即普朗克公式(1-1)。 待求问题：能量密度极大值所对应的波长?m与温度T的关系，即黑体辐射的能量密度?随着波长?分布的函数??(?,T)取极大值时，对应的波长?m(T)。
相互联系：黑体辐射是电磁波，其波动性既可以用频率来描述，也可以用波长来描述。波长与频率满足关系
???c (1.1-1)
无论是用频率来描述黑体辐射能量密度的分布，还是用波长来描述黑体辐射能量密度的分布，在同一个波段范围内的能量密度是不变的。设该波段范围介于频率?与??d?之间，频率间隔为d?，其中包含的能量密度为??(?,T)d?；用波长来描述，波段范围介于波长?与??d?之间，其中包含的能量密度为???(?,T)d?（考虑到波长为频率的减函数，与此相应的波长间隔为??(??d?)??d?）。由于两者描述的是同一个波段范围内的能量密度，因此有
??(?,T)d?????(?,T)d? (1.1-2)
【求解过程】
首先利用波长与频率的关系，求出黑体辐射的能量密度?随着波长?分布的函数
??(?,T)????(?,T)c8?h()3?c3d?cdc????(,T)()d??d?? (1.1-3)
?1ehc/?kBT?1?(c)?28?hc1B?5ehc/?kT?1表示单位波长间隔中，黑体辐射的能量密度随波长的变化。
然后对上述函数求极大值对应的波长。按照数学分析中的极大值条件，要求能量密度
?(?,T)对分布参数?的一阶导数为零，即
3
d8?hc18?hc1hchc/?kBT?(?,T)??5?6hc/?kBT?5ehc/?kBT22d??e?1?(e?1)?kBT?8?hc1hchc/?kBT?hc/?kBT?6?5(e?1)?e??0?(ehc/?kBT?1)2??kT?B?上面的条件可以简化为
(1.1-4)
?5(ex?1)?xex?0 或者f(x)??5(1?e?x)?x?0 (1.1-5)
其中x?hc/(?kBT)。设x1为方程(1.1-5)的根，我们得到能量密度极大值所对应的波长为
?m?hcbhc (1.1-6) ?,b?x1kBTTx1kB方程 (1.1-5)为超越方程，无法用解析的方法严格求解，需要借助数值方法。人工数值求解方程的方法有两分法和牛顿切线法等，但用计算机处理更加方便快捷。利用科学计算工具软件Mathematica（见附录B），输入求解一般方程的命令
FindRoot[-5 (1-Exp[-x])+x?0,{x,10}]
立刻得到x ??4.96511，由此求出常量b?hc/x1kB?0.0028991(m?K)。 【物理讨论】
如果先对普朗克公式(1.1-1)求出能量密度分布极大值所对应的频率?m，再根据波长与频率的关系求出?m?c/?m，则不符合本题要求。因为这样得到的是单位频率间隔中能量密度极大时所对应的波长，而本题要求计算的是单位波长间隔中能量密度极大时所对应的波长。即使都用波长为参数来描述，单位频率间隔与单位波长间隔所包含的电磁辐射能量密度也是不相同的，前者是??(,T)，而后者是??(?,T)。
c?1.2 在0K附近, 钠的价电子动能约为3eV, 求其德布罗意波长. 【题意分析】
已知条件：钠的价电子动能E?3(eV)；
待求问题：价电子的德布罗意波长； (1.2-1) 相互联系：德布罗意关系??h/p，而电子的动量p与动能E与之间满足
p2?(E/c)2?2meE (1.2-2)
【求解过程】
4
首先判断钠的价电子属于哪种情况，是否可以用非相对论近似。价电子动能E?3(eV)，静质量能为mec2?5.11?105(eV)，E??mec2，属于非相对论情况，(1.2-2)式近似为
p?2meE。 (1.2-3)
将结果代入德布罗意波长公式，得到
hh1.22643?10?9?????7.08?10?10(m) (1.2-4)
p2meE3又解：
直接利用一般公式(1.2-2)，得到德布罗意波长
??hhhc???7.08?10?10(m) (1.2-5) p(E/c)2?2meEE2?2mec2E【物理讨论】
从数值上看，德布罗意波长计算的非相对论近似结果与精确公式处理结果没有差别，这是因为相对误差非常小的缘故。非相对论近似的条件为E??mec2，由此产生的相对误差大约为E:mec2?3:5.11?105?5.87?10?6（数量级）。
1.3 氦原子的动能是E?3( kB为波尔兹曼常数 ), 求T = 1K时,氦原子的德布罗意波2kBT长.
【题意分析】
已知条件：氦原子的静质量为4.0026个相对原子质量，即
mHe?4.0026?1.66?10?27?6.64?10?27(kg) (1.3-1)
?5?43动能是E?3； 2kBT?28.61734 ?10T(eV)?1.2926?10T(eV)待求问题：氦原子的德布罗意波长；
相互联系：德布罗意关系??h/p，而电子的动量p与动能E与之间满足
p?(E/c)2?2mHeE (1.3-2)
【求解过程】
首先判断T = 1K时氦原子属于哪种情况。氦原子动能E?1.2926?10(eV)，静质量能为mHec?5.97?10J?3.73， E??mHec2，属于非相对论情况，于是有?10eV
5
2?109?4