由于题目没有给出加速电压的具体大小，无法判断电子动能与静质量能的大小关系，因此需要考虑普遍情况。
在一般情况下，动量与动能的关系满足(1.5)式，代入德布罗意公式后，得到
??hhhchc (E1.3-1) ???22222p(E/c)?2m0EE?2m0cE(eU)?2m0ceU上式给出了德布罗意波长与电子加速电压的函数关系。
以康普顿波长?C?h/(mc)?2.426?10?12(m)为波长单位，上式可以无量纲化为
??mc???Ch1(eU22eU)?mec2mec2 (E1.3-2)
以mec2/e?5.11?105(V)为电压单位，u?U/(mec2/e)为无量纲电压，得到
?1 (E1.3-3) ?2?Cu?2u利用科学计算工具软件Mathematica的绘图命令 Plot[1/Sqrt[u^2+2 u],{u,0,1}] 得到电子德布罗意波长与加速电压的函数图像
图1-1 电子德布罗意波长与加速电压的函数关系 E1.4用量子化条件求势场U(x)?U0cot2kx,0?x??/k中粒子的能谱。
【提示】粒子在势阱U(x)中作束缚运动，动量为p??2m[En?U(x)]。由转向点条件
?1。利用玻尔-索末菲量子化条件，得En?U(x)?0，得到a?1En/U0,b?1kcotk??a到
2?ba2m[En?U0cot2kx]dx?(n?12)h (E1.4-1)
11
以??kx为变量，上式可以化简为
22mU0???cot?1??1cot??2?cot2?d??(n?1En/U0 (E1.4-2) 2)hk,??经过仔细计算，最后得到
2mU0h2k22En?{[u0?(n?1)]?u},u? (E1.4-3) 0022mh2k2E1.5设在第n个能级中，粒子的能量为En,n?0，运动周期为?n，用量子化条件证明
?ndEn?h。 dn【提示】粒子的运动周期为
?n???n0bdxdxdt???v?2?av (E1.5-1)
其中v为速度，a,b(a?b)为运动的转向点。利用量子化条件
2?ba2m[En?U(x)]dx?(n?12)h (E1.5-2)
上式两边对n求导，得到
dEndn?badE2mdx?ndn2m[En?U(x)]?badE2dx?n??n?h (E1.5-3) vdnE1.6用量子化条件和维里定理求势场U(x)?U0x?中粒子的能谱形式。
【提示】按维里定理，在一维束缚运动中动能T与势能U(x)的周期平均值满足条件
2T?xU'(x)，在本题的情况下成为2T??U(x)。在第n个能级，En?T?U(x)，应用
维里定理后得到T???。 ?2En利用量子化条件，动能的周期平均值为
?T??012mp2dt????0pvdt2???bapdx??12(n?12)h?1?12(n?2)dEn (E1.6-1) dn在最后一步利用了上题的结果。
由此得到
12(n?12)dEn????2En (E1.6-2) dn2?解上面的微分方程，得到
??2 En?E (E1.6-3) ?1)0(2n 12
E1.7 粒子在对称势场中运动，已知粒子的能谱为En,n?N，利用量子化条件求势能U(x)的形式。假定当x?0时，U'(x)?0。 【提示】量子化条件为2?ba2m[En?U(x)]dx?(n?12)h，其中a,b为转向点。利用势能
的对称性U(?x)?U(x)，得到a??b?0，量子化条件成为
4?b02m[En?U(x)]dx?(n?12)h (E1.7-1)
上式可以看成是一个关于势能U(x)的积分方程。根据假设，U(x)在积分区间内单调增加，这时可以求出势能的反函数
x(U)?hU?2mE0dEdndE (E1.7-2)
U?E 13