p?2mHeE。
将结果代入德布罗意波长公式，得到
???hhh??p2mHeE3mHekBT6.626?10?34 (1.3-3)
3?6.64?10?27?1.38?10?23?1.26?10?9(m)【物理讨论】
粒子的德布罗意波长随着粒子质量或者温度的减小而变长，波动性增强。在温度接近绝对零度时，粒子的德布罗意波长可能会达到粒子之间平均距离的数量级，这时经典的统计力学理论不再适用。
如果要在宏观尺度上观察到氦原子的波动效应，其德布罗意波长应该到达微米数量级以上，即?:1.26?10?6(m)，这要求温度不大于10K。 1.4 利用玻尔-索末菲的量子化条件, 求: (1) 一维谐振子的能量;
(2) 在均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径.
已知外磁场B = 10 T（特斯拉）, 玻尔磁子?B?9?10?24J/T, 试计算动能的量子化间隔?E, 并与T = 4K及T = 100K的热运动能量相比较。 （1）一维谐振子的能量 【题意分析】
已知条件： 一维谐振子的坐标和动量(x,p)满足量子化条件 (1-3) 待求问题：一维谐振子的能级En； 相互联系：能量表达式为
?6E?121p?m?2x2 (1.4-1) 2m2其中m为振子质量，?为振动的圆频率。 【求解过程】
由能量表达式得到坐标的取值范围是x?[?xm,xm]，其中xm?2E/m?2。振子的坐
标从最小值运动到最大值之后，再回到最小值时，完成了一个运动周期，因此?xm也称为
6
经典运动的转向点。动量为p??2mE?m2?2x2，当x从最小值运动到最大值时，动量为正；从最大值运动到最小值时，动量为正。
将上述分析的结果代入量子化条件(1-3)后，得到
??pdx???2?xm?xmxm?xm2mE?m2?2x2dx??22212?xmxm2mE?m2?2x2dx (1.4-2)
2mE?m?xdx?(n?)h在上式中令??m?x/2mE，得到
4E?即
?1?11??2d??2?E??(n?12)h (1.4-3)
E?(n?1h?h/(2?) (1.4-4) 2)h?,又解：
由能量表达式(1.4-1)容易看出，一维谐振子在相空间中的运动轨迹为椭圆，方程为
p2x2??1 (1.4-5) 22mE2E/m?椭圆的长半轴和短半轴分别为a?恰好是椭圆的面积，即
2mE和b?2E/m?2。而根据(1.4-2)式，等式的左边
??pdx??ab?2?E/??(n?于是得到
12)h (1.4-6)
(1.4-7) E?(n?12)h?三解：
&?m?Acos(?t??)，一维谐振子的运动学方程为x?Asin(?t??)，动量为p?mx运动周期为T?2?/?，代入量子化条件（1-3），得到
??pdx??2T02m?Acos(?t??)dAsin(?t??)2 (1.4-8)
1?12m?A?T??m?A?(n?2)h将运动学方程代入能量表达式，得到
7
E?121p?m?2x22m2 (1.4-9)
122211?m?Acos2(?t??)?m?2A2sin2(?t??)?m?2A22m22比较上面的两个式子，得到
(n?11222)h?E?m?A??(n?12)h? (1.4-10) 22?（2）在均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径 【题意分析】
已知条件：电子的坐标r和动量p满足量子化条件（1-3）式；在电磁场中，带电粒子
vvvvvvvv的动量应该取正则动量p?mv?qA，其中A为磁场的矢势，满足关系??A?B，对于电
vvv子有p?mv?eA。
待求问题：电子轨道的可能半径rn；
vvv相互联系：圆周运动的条件mv/r?Fn和洛伦兹公式F?qv?B。
2【求解过程】
vv设磁场方向沿着z轴正向，即磁感应强度B?Bk；电子在垂直磁场的平面内作圆周运
动，我们设运动平面为Oxy平面，圆周运动的圆心为原点，半径为r，电子的坐标为
vvvvvv&r?r(cos?i?sin?j)，速度为v?r?(?sin?i?cos?j)。
由洛伦兹公式得到
vvvvv&&F??er?(?sin?i?cos?j)?Bk??e?Br (1.4-11)
代入圆周运动的条件后，得到
2&&&mr??e?rB???eB/m (1.4-12)
利用上面的关系，不难算出
vvvvvv2&mv?dr?eA?dr?mr?d??e??A?dS蜒????? (1.4-13) vv2222???reBd??e??B?dS?2?reB?e?rB??reBvvp蜒??dr?推导中利用了曲线积分的斯托克斯公式（附录A）。
将上面的结果代入量子化条件(1-3)后，得到
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?r2eB?(n?1n?N 2)h,即
r2?(n?12)h2hh?(n?1)?(2n?1),n?N (1.4-14) 2?eBeBeB而电子的动能为
E?m2mmreB2heB&v?(r?)2?()?(2n?1)?(2n?1)?BB (1.4-15)
222m2m其中?B?he/(2m)为玻尔磁子。电子动能的量子化间隔为
?E?2?BB?2?9?10?24?10?1.8?10?22(J) (1.4-16)
而温度为T时的热运动能量为
?23E?3T?2.1?10?23T(J) (1.4-17) 2kBT?1.5?1.38?10【物理讨论】
由上面的结果容易看出，当T = 4K时，热运动能量为8.4?10?23(J)，小于电子动能的量子化间隔，在这种情况下，能量的量子化效应非常显著；当T = 100K时，热运动能量为
2.1?10?21(J)，大于电子动能的量子化间隔，这时能量的量子化效应不明显。
1.5 两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对. 如果两光子的能量相等, 问要实现这种转化, 光子的波长最大时多少? 【题意分析】
已知条件：正电子或负电子的静止质量为me?9.11?10?31(kg)，静质量能为
mec2?5.11?105(eV)，单个光子的能量E??h?。
待求问题：两个能量相等的光子转化为正负电子对的波长条件；
相互联系：波长与频率的关系???c；转化前后的能量守恒，即2E??E。 【求解过程】
正负电子对的总能量不小于静止质量，即E?2mec2，因此得到
2h??E?2mec2???mec2/h (1.5-1)
考虑到波长与频率的关系，上式化为
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??c??h??C?2.426?10?12(m) (1.5-2) mec这表明两个能量相等的光子要转化为正负电子对，其波长不能超过电子的康普顿波长?C。 【物理讨论】
(1.5-2)式给出的是转化前光子波长的最大值，在一般情况下转化后的正负电子不会静止，还具有一定的动能，因此光子的实际波长应该小于这个最大值。
类似的，两个能量相等的光子也可以转化为其它正负粒子对，例如转化为正负质子对，这时光子的波长不能超过质子的康普顿波长h/(mpc)。
需要指出的是：在求解过程中我们没有考虑正负电子之间的电势能，这是因为电势能
2的大小|U|?es/?C?300(eV)，远远小于电子的静质量能5.11?10(eV)。
5§1.3 扩展练习
E1.1. 假设太阳表面可以看成温度大约为T = 6000K的黑体，计算在太阳的辐射中，可见光范围内的能量占总能量的百分比。
【提示】 在太阳辐射中，可见光的频率范围是[?1，?2]，其中?1 = 3.95?1014Hz，?2 = 7.50?1014Hz，利用普朗克公式（1.1），在可见光范围内的能量密度为
u可??太阳辐射的总能量密度为 u总?两者之比为
?2?3d?u可 ?u总??1eh?/kT?1?2?18??2h?d? (E1.1-1) 3h?/kTce?18??2h?d? (E1.1-2)
c3eh?/kT?1??0???3d?eh?/kT0?1?0.4313 (E1.1-3)
上式表明，太阳的辐射能中有近二分之一集中在可见光频段。 E1.2．求波长为25 nm 紫外线光子的能量和动量。
【提示】由德布罗意关系（1.4），可以得到该光子能量和动量分别为
??h??hc/? 和 p?h/?
E1.3．求静止电子经电压U（V）加速后，德布罗意波长随着加速电压变化的关系。
25【提示】电子的静质量能为mc?5.11?10(eV)，静止电子经加速后的动能为E?eU，
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