编号：
毕业设计(论文)说明书
题 目： 数值积分的加速技巧
院 （系）： 计算科学与数学系 专 业： 信息与计算科学 学生姓名： 吴蕾磊 学 号： 00071303 指导教师： 马昌凤
职 称： 教授
题目类型： 理论研究 实验研究 工程设计 工程技术研究 软件开发
2004年 06月 06日
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摘 要
本文主要对于数值积分中的经典积分方法以及加速收敛技巧的理论进行详细的阐述，通过数值实验对他们进行比较，从而得出各种积分方法的适用范围，优劣特性，以说明数值积分中加速收敛的必要性及其作用。
本文主要包括四个部分。
第一部分引言，是对于数值积分及其加速收敛问题的背景简介。
第二部分是对几种经典数值积分方法的介绍部分，包括：梯形及复化梯形求积法，抛物线及复化抛物线求积方法，牛顿-柯特斯以及复化牛顿-柯特斯求积法理论的介绍，和加速收敛的Romberg求积方法的介绍。
第三部分属于数值实验部分，通过大量的例题实验，体现出梯形，抛物线，牛顿-柯特斯等积分方法的特性，通过与加速收敛的Romberg积分法比较，体现出加速收敛的必要性及优越性，这一部分是本文的重点部分，由这些实验可以有力地证明我们第二部分的理论，同时引出第四部分的结论。
第四部分是结论，总结作者对于此部分内容所得出的一些结论性的东西，例如各种积分方法的优缺点，以及适用范围等，以及作者在写作整篇论文时的一些心得体会。
本文对于理论的介绍深入浅出，例题丰富，实验数据清晰并且能够有力地说明问题。程序段附于论文之后，且程序都以函数的形式编写，加有注释，只要输入相应的数据都可作为通用程序使用.。
关键词：加速收敛；梯形积分；抛物线积分；牛顿-柯特斯积分；Romberg积分。
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Abstract
This text is mainly for the specific expatiate of the sutra methods of numerical integrate and the skill of accelerated convergence.Our purpose is to find the applicabilities and specialities of them through numberical experiments,so that we can illuminate the necessity and effect of the skill of accelerated convergence in numerical integral.
It mainly contains four parts in this text.
The first part is introduction,there we have gave a brief introduction of the background of numerical integral and accelerated comvergence .
The second part is the presentation of the theories of the sutra methods of numerical integral.It contains:methods of trapezia and mulriple trapezia,methods of Simpson and mulriple Simpson,methods of Newton-Cotes and mulriple Newton-Cotes.And finally,it is some theory presentation of Romberg method with the accelerated convergenc. The third part belongs to numerical experiments.A grate deal of specific numerical experiments will incamate the specialities of different sutra integral methods.And then, through the comparition with Romberg method,we can incarnate the necessity and advantage of accelerated convergence.This part is the most important part of this text,because through these experiments,we can support our theoris of part two effectively,and also can enduce the conclusions of part four.
The fourth part is some conclusive words, it is the auther’s conclusion according to the text,for example,the advantages and disadvantages ,as well as the special use of various integral methods and some feelings and experience of wrinting the text. We have used some very simple words to explain the hard theories,together with a plenty of examples and numerical experiments with clear and effective data results.Programmes referred in the text are in the form of addendum.The programmes are written in the form of function with sufficient explanations ,if we input datas correctly,these programmes can function as current programmes,so we can use them conveniently in our context without a large amount of long programmes.
Keywords:accelerated convergence;method of trapezia integral;method of Simpson integral;method of Romberg integral.
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目 录
引言?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 5 1 数值积分的几种经典方法概述????????????????????????????????????????????????6
1.1 梯形求积公式及复化梯形求积公式????????????????????????????????????????????????7 1.1.1梯形求积公式及其误差估计???????????????????????????????????????????????????????7 1.1.2复化梯形求积公式及其误差估计??????????????????????????????????????????????????7 1.2 抛物线求积公式及复化抛物型求积公式???????????????????????????????????????????9 1.2.1抛物线求积公式????????????????????????????????????????????????????????????????????9 1.2.2复化梯形求积公式????????????????????????????????????????????????????????????????? 9 1.3 牛顿-柯特斯公式???????????????????????????????????????????????????????????????????10 2 数值方法中的加速收敛及Romberg积分法??????????????????????????????? 15 2.1 Romberg 积分法的构造????????????????????????????????????????????????????????????15 2.2 加速收敛技巧——Richardson外推法??????????????????????????????????????????? 17 3 算法设计及数值实验??????????????????????????????????????????????????????????? 18 3.1 梯形公式的算法思想及程序设计????????????????????????????????????????????????? 18 3.1.1定步长复化梯形公式??????????????????????????????????????????????????????????????19 3.1.2变步长的复化梯形公式???????????????????????????????????????????????????????????20 3.2 抛物线公式的算法思想及程序设计???????????????????????????????????????????????21 3.2.1定步长的复化抛物线公式????????????????????????????????????????????????????????21 3.2.2变步长的复化抛物线公式????????????????????????????????????????????????????????22 3.3 牛顿-柯特斯公式的算法思想及程序设计????????????????????????????????????????23 3.3.1牛顿-柯特斯公式?????????????????????????????????????????????????????????????????24 3.3.2复化柯特斯公式??????????????????????????????????????????????????????????????????25 3.4 Romberg积分的算法思想及程序设计????????????????????????????????????????????26 3.5 综合实验????????????????????????????????????????????????????????????????????????????28 4. 结论????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????30
谢词?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????32 参考文献?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 33 附录???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 34
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引言
本部分主要是数值积分及其加速收敛问题的背景简介。
数值积分是研究如何求出一个积分的数值，这一课题的起源可追溯到古代，其中一个突出的例子是希腊人用内接与外接正多边形推算出圆面积的方法。也正是此方法使阿基米德得以求出π值的上界与下界.若干世纪以来，尤其是十六世纪后，已提出了多种数值积分法，其中包括积分学基本定理、无穷级数、函数关系式、微分方程及积分变换的使用等。最后就是本文中至为重要的一个内容，即近似积分法，亦即用被积函数值的一种线性组合来逼近所求积分：
?
baf(x)dx?w1f(x1)?w2f(x2)???wnf(xn) ???a?b???
在上式中，x1 ，x2 ,?xn是n个积分点或横坐标，通常是取在积分区间内；而数w1 ，w2 ，?wn 是相应于这些积分点的n个“权”。有时，上式的右端可能出现被积函数的导数。
目前已经有许多相当通用而完善的方法可用来计算积分值，为何还要研究和利用像这类原始的近似方法呢?回答很简单:在数学上看来已经完善的方法，不见得就切实可行，即便是行得通，真用起来仍可能不利。例如，积分学概括的基本方法
其中F(x)是f(x)的一个不定积分（反微商）。若该不定积分非常简单而又便于使用，上面的积分式当然提供了一个算起来最快的积分方法。但在科学实验和实际生产问题中，遇到的函数f(x)是复杂的，是多种多样的，往往不能或者很难用求原函数的方法来解决，因为：
(1) 有些被积函数很复杂，它的积分式子很冗长，使用起来不方便，或者式 子虽然不很长，但是需要很高超的技巧才能求出其原函数，例如：函数
?baf(x)d?xF(?b)F( a)