在平面直角坐标系中，一次函数的图象与坐标轴围成的三角形，叫做此一次函数的坐标三角形．例如，图中的一次函数象与x轴、y轴分别交于点A、B，则△OAB为此函数的坐标三角形． （1）求函数y=-x+3的坐标三角形的面积； （2）若函数y=- 3 4
的图
x+b（b为常数）的坐标三角形周长为16，求此三角形的面积． 考点：一次函数综合题． 专题：数形结合．
分析：（1）分别让函数的x为0可得BO的值，让y=0可得OA的值，进而可得三角形的面积；
（2）得到用b表示的函数与x轴，y轴的交点，进而得到两交点之间的距离，根据b的取值以及三角形的周长为16可得b的值，进而求得三角形的面积．
解答：解：（1）∵直线y=-x+3与x轴的交点坐标为（3，0），与y轴交点坐标为（0，3），
∴函数y=-x+3的坐标三角形的面积为s= 1 2
×3×3=4.5；
（2）直线y=- 3 4
x+b与x轴的交点坐标为（ 4 3
b，0），与y轴交点坐标为（0，b），
坐标三角形的斜边的长为
( 4
3 b)2+b2
=
5 3
|b|，
当b＞0时，b+ 4 3 b+ 5 3
b=16，得b=4，此时，坐标三角形面积为
6
32 3 ；
当b＜0时，-b- 4 3 b- 5 3
b=16，，得b=-4，此时，三角形面积 32 3 ．
综上，当函数y=- 3 4
x+b的坐标三角形周长为16时，面积为 32 3 ．
点评：综合考查一次函数的知识；根据b的不同取值分情况探讨三角形的面积是解决本题的易错点．
一次函数y=3x，y=-x+4的图象与x轴围成的三角形面积为 6，与y轴围成的三角形面积为 2．
考点：两条直线相交或平行问题． 专题：计算题．
分析：根据两个函数方程联立解得交点坐标，再利用面积公式进行求解．
解答：解：y=3x与y=-x+4联立解得交点坐标为（1，3），y=-x+4与x轴的交点是（4，0），与y轴的交点是（0，4）
故x轴围成的三角形面积为 1 2
×4×3=6，
与y轴围成的三角形面积为 1 2
×4×1=2．
故填：6、2．
点评：本题考查了三角形面积公式以及根据公式代入数值解题的能力．
在平面直角坐标系中，一次函数的图象与坐标轴围成的三角形，叫做此一次函数的坐标三角形．例如，图中的一次函数象与x轴、y轴分别交于点A、B，则△OAB为此函数的坐标三角形．
7
的图
（1）求函数y=-x+3的坐标三角形的面积； （2）若函数y=- 3 4
x+b（b为常数）的坐标三角形周长为16，求此三角形的面积． 考点：一次函数综合题． 专题：数形结合．
分析：（1）分别让函数的x为0可得BO的值，让y=0可得OA的值，进而可得三角形的面积；
（2）得到用b表示的函数与x轴，y轴的交点，进而得到两交点之间的距离，根据b的取值以及三角形的周长为16可得b的值，进而求得三角形的面积．
解答：解：（1）∵直线y=-x+3与x轴的交点坐标为（3，0），与y轴交点坐标为（0，3），
∴函数y=-x+3的坐标三角形的面积为s= 1 2
×3×3=4.5；
（2）直线y=- 3 4
x+b与x轴的交点坐标为（ 4 3
b，0），与y轴交点坐标为（0，b）， 坐标三角形的斜边的长为
( 4
3 b)2+b2
=
5 3
|b|，
当b＞0时，b+ 4 3 b+ 5 3
b=16，得b=4，此时，坐标三角形面积为 32 3 ；
当b＜0时，-b- 4
8
3 b- 5 3
b=16，，得b=-4，此时，三角形面积 32 3 ．
综上，当函数y=- 3 4
x+b的坐标三角形周长为16时，面积为 32 3 ．
点评：综合考查一次函数的知识；根据b的不同取值分情况探讨三角形的面积是解决本题的易错点．
知点M（a、b）在第一象限，一次函数的图象过M点，且在第一象限与坐标轴围成的三角形面积最小，一次函数的解析式
y=-
b a
x+2b
b a
x+2b．
考点：待定系数法求一次函数解析式． 专题：计算题．
分析：设函数解析式为y=kx+m，代入点M的坐标去掉解析式中的m，然后用a和b表示出函数与坐标轴的交点，根据面积=
1 2
|x||y|求出面积表达式，根据不等式的性质可得出在面积取最小的时候k的表达式．
解答：解：设函数解析式为y=kx+m，
∵点M在图象上， ∴b=ka+m，即m=b-ak， 与x轴交点为（- m k
，0），与y轴交点为（0，m）， 面积= 1 2 ×（- m k ）×m=-
9
m2
2k =-
(b-ak)2
2k =
b2+a2k2-2kab
2k =（-
b2
2k ）+（-
a2k
2 ）+ab≥2 (
-b2
2k
)( -
a2k
2 )
+ab=ab+ab=2ab， 当且仅当-
b2
2k =-
a2k
2 ，即k=- b a
时，面积最小． 故k=- b a
，m=b-ak=2b． ∴函数解析式为：y=- b a x+2b． 故填：y=- b a x+2b．
点评：本题考查待定系数法求函数解析式，综合了三角形和不等式的知识，难度较大，同学们要试着研究此类题目的解题思想．
10