?0.7?0.7?0.50.?6?
0.51424.?在一个盒中装有15个乒乓球，其中有9个新球，在第一次比赛中任意取出3个球，比
赛后放回原盒中；第二次比赛同样任意取出3个球，求第二次取出的3个球均为新球的概率. 【解】 设Ai={第一次取出的3个球中有i个新球}，i=0,1,2,3.B={第二次取出的3球均为新
球}
由全概率公式，有
3P(B)??P(Bi?0Ai)P(Ai)
?C6C1353?C9C3315?C9C6C312?C8C33?15C9C6C321?C7C33?1C9C533?C6C3153151515?0.08 925. 按以往概率论考试结果分析，努力学习的学生有90%的可能考试及格，不努力学习的学
生有90%的可能考试不及格.据调查，学生中有80%的人是努力学习的，试问： （1）考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人？
（2）考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人？
【解】设A={被调查学生是努力学习的}，则A={被调查学生是不努力学习的}.由题意知P
（A）=0.8，P（A）=0.2，又设B={被调查学生考试及格}.由题意知P（B|A）=0.9，P（B|A）=0.9，故由贝叶斯公式知 （1）P(AB)?P(AB)P(B)P(A)P(BA)?P(A)P(BA)?P(A)P(BA)0.2?0.8?0.?90.11??0.0270 20?.20.137
?即考试及格的学生中不努力学习的学生仅占2.702% (2) P(AB)?P(AB)P(B)?0.10?.2P(A)P(BA)P(A)P(BA)?P(A)P(BA)4??0.307 70.913
?0.8?0.8?0.?1即考试不及格的学生中努力学习的学生占30.77%.
26. 将两信息分别编码为A和B传递出来，接收站收到时，A被误收作B的概率为0.02，而
B被误收作A的概率为0.01.信息A与B传递的频繁程度为2∶1.若接收站收到的信息是
A，试问原发信息是A的概率是多少？ 【解】 设A={原发信息是A}，则={原发信息是B}
C={收到信息是A}，则={收到信息是B} 由贝叶斯公式，得
6
P(AC)?P(A)P(CA)P(A)P(CA)?P(A)P(CA)
?2/3?2/3?0.9?80.981?/3 2?0.99490.0127.?在已有两个球的箱子中再放一白球，然后任意取出一球，若发现这球为白球，试求箱
子中原有一白球的概率（箱中原有什么球是等可能的颜色只有黑、白两种）? 【解】设Ai={箱中原有i个白球}（i=0,1,2），由题设条件知P（Ai）=
出一球为白球}.由贝叶斯公式知
P(A1B)?P(A1B)P(B)?P(BA1)P(A1)213,i=0,1,2.又设B={抽
?P(Bi?0Ai)P(Ai)13?2/3?1/31/3?1/3?2/3?1/3?1?1/3?
28.?某工厂生产的产品中96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率
为0.02，一个次品被误认为是合格品的概率为0.05，求在被检查后认为是合格品产品确是合格品的概率. 【解】 设A={产品确为合格品}，B={产品被认为是合格品}
由贝叶斯公式得
P(AB)?P(AB)P(B)?P(A)P(BA)P(A)P(BA)?P(A)P(BA)0.980?.04?0.99 80.05
?0.9?60.9?60.?9829.?某保险公司把被保险人分为三类：“谨慎的”，“一般的”，“冒失的”.统计资料表明，上
述三种人在一年内发生事故的概率依次为0.05,0.15和0.30；如果“谨慎的”被保险人
占20%，“一般的”占50%，“冒失的”占30%，现知某被保险人在一年内出了事故，则他是“谨慎的”的概率是多少？
【解】 设A={该客户是“谨慎的”}，B={该客户是“一般的”}，
C={该客户是“冒失的”}，D={该客户在一年内出了事故}
则由贝叶斯公式得 P(A|D)?P(AD)P(D)?P(A)P(D|A)P(A)P(D|A)?P(B)P(D|B)?P(C)P(D|C)0.2?0.2?0.0?50.05?0.05 70.30.3
??0.5?0.1?530.?加工某一零件需要经过四道工序，设第一、二、三、四道工序的次品率分别为0.02,0.03,0.05,0.03，假定各道工序是相互独立的，求加工出来的零件的次品率.
【解】设Ai={第i道工序出次品}（i=1,2,3,4）.
4P(?Ai)?1?P(A1A2A3A4)
i?1)P(A)P(3A)P( ?1?P(A A)124
7
?0.9?70.?950?.97 ?1?0.9831.?设每次射击的命中率为0.2，问至少必须进行多少次独立射击才能使至少击中一次的概
率不小于0.9?
【解】设必须进行n次独立射击.
n1?(0.8)?0.9
n即为 (0.8)?0 .故 n≥11 至少必须进行11次独立射击.
32.?证明：若P（A｜B）=P(A｜B)，则A，B相互独立.
【证】 P(A|B)?即P(A|B)P(AB)P(B)?P(AB)P(B)
亦即 P(AB)P(B?)P(AB)P( B)P(AB)[1?P(B)]?[P(A)?P(AB)]P(B)
因此 P(AB)?故A与B相互独立.
P(A)P( B)33.?三人独立地破译一个密码，他们能破译的概率分别为
的概率.
【解】 设Ai={第i人能破译}（i=1,2,3），则
315，
13，
14，求将此密码破译出
P(?Ai)?1?P(A1A2A3)?1?P(A1)P(A2)P(A3)
i?1 ?1?45?23?34?0.6
34.?甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击，设击中的概率分别是0.4,0.5,0.7，若只有一人击中，则飞机被击落的概率为0.2；若有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6；若三人都击中，则飞机一定被击落，求：飞机被击落的概率. 【解】设A={飞机被击落}，Bi={恰有i人击中飞机}，i=0,1,2,3
由全概率公式，得
3P(A)??P(A|B)P(B)
iii?0=(0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7)0.2+
(0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7)0.6+0.4×0.5×0.7
=0.458
35.?已知某种疾病患者的痊愈率为25%，为试验一种新药是否有效，把它给10个病人服用，
且规定若10个病人中至少有四人治好则认为这种药有效，反之则认为无效，求： （1） 虽然新药有效，且把治愈率提高到35%，但通过试验被否定的概率.
8
（2） 新药完全无效，但通过试验被认为有效的概率.
3【解】（1） p1??Ck?0k10k10(0.35)(0.65)k10?k?0.5138
10(2) p2??Ck?4(0.25)(0.75)k10?k?0.2241
36.?一架升降机开始时有6位乘客，并等可能地停于十层楼的每一层.试求下列事件的概率：
（1） A=“某指定的一层有两位乘客离开”；
（2） B=“没有两位及两位以上的乘客在同一层离开”； （3） C=“恰有两位乘客在同一层离开”； （4） D=“至少有两位乘客在同一层离开”.
【解】 由于每位乘客均可在10层楼中的任一层离开，故所有可能结果为10种.
（1） P(A)?C69106246
，也可由6重贝努里模型：
2P(A)?C6(110)(2910)
4（2） 6个人在十层中任意六层离开，故
P(B)?P101066
1（3） 由于没有规定在哪一层离开，故可在十层中的任一层离开，有C10种可能结果，再从
六人中选二人在该层离开，有C6种离开方式.其余4人中不能再有两人同时离开的情况，因此可包含以下三种离开方式：①4人中有3个人在同一层离开，另一人在其余8层中任一层离开，共有C9C4C8种可能结果；②4人同时离开，有C9种可能结果；③4个人都不在同一层离开，有P9种可能结果，故
P(C)?C10C6(C9C4C8?C9?P9)/10
12131146413112（4） D=B.故
P101066P(D)?1?P(B)?1?
37. n个朋友随机地围绕圆桌而坐，求下列事件的概率： （1） 甲、乙两人坐在一起，且乙坐在甲的左边的概率； （2） 甲、乙、丙三人坐在一起的概率；
（3） 如果n个人并排坐在长桌的一边，求上述事件的概率. 【解】 （1） p1?1n?1
9
(2) p2?(3) p1??3!(n?3)!(n?1)!(n?1)!n!?,n?3
1n3!(n?2)!n!;p2??,n?3
38.?将线段[0，a]任意折成三折，试求这三折线段能构成三角形的概率? 【解】 设这三段长分别为x,y,a?x?y.则基本事件集为由
0
a?0?x??2??0?y?a ?2?a??x?y?a??2如图阴影部分所示，故所求概率为p?14.
39. 某人有n把钥匙，其中只有一把能开他的门.他逐个将它们去试开（抽样是无放回的）.
证明试开k次（k=1,2,?,n）才能把门打开的概率与k无关. 【证】 p?Pn?1Pnkk?1?1n,k?1,2?,n ,40.把一个表面涂有颜色的立方体等分为一千个小立方体，在这些小立方体中，随机地取出
一个，试求它有i面涂有颜色的概率P（Ai）（i=0,1,2,3）.?
【解】 设Ai={小立方体有i面涂有颜色}，i=0,1,2,3.
在1千个小立方体中，只有位于原立方体的角上的小立方体是三面有色的，这样的
小立方体共有8个.只有位于原立方体的棱上（除去八个角外）的小立方体是两面涂
色的，这样的小立方体共有12×8=96个.同理，原立方体的六个面上（除去棱）的小立方体是一面涂色的，共有8×8×6=384个.其余1000?（8+96+384）=512个内部的小立方体是无色的，故所求概率为
P(A0)?P(A2)?5121000961000?0.512,P(A1)??0.096,P(A4)?384100081000?0.384, ?0.008.
41.对任意的随机事件A，B，C，试证?
P（AB）+P（AC）?P（BC）≤P(A).? 【证】 P(A)?P[A(?BC?)]P(?AB AC ?P(AB)?P(AC)?
)CP(AB10