?1?3,??2f(x)=?,?9?0,??23130?x?1,3?x?6,
其他.若k使得P{X≥k}=2/3，求k的取值范围. (2000研考) 【解】由P（X≥k）=
知P（X 若k<0,P(X 当k=1时P（X 13 10若1≤k≤3时P（X 29k?13?13若3 130?29233dx? 故只有当1≤k≤3时满足P（X≥k）= 42.设随机变量X的分布函数为 ?0,??0.4,F(x)=??0.8,?1,?. x??1,?1?x?1,1?x?3,x?3. 求X的概率分布. （1991研考） 【解】由离散型随机变量X分布律与分布函数之间的关系，可知X的概率分布为 X P ?1 0.4 1 0.4 3 0.2 43.设三次独立试验中，事件A出现的概率相等.若已知A至少出现一次的概率为19/27，求A 在一次试验中出现的概率. 【解】令X为三次独立试验中A出现的次数，若设P（A）=p,则 X~b(3,p) 由P（X≥1）=故p= 131927827知P（X=0）=（1?p）3= 44.若随机变量X在（1，6）上服从均匀分布，则方程y2+Xy+1=0有实根的概率是多少？ 【解】 36 ?1?,f(x)??5?0,?P(X21?x?6其他 ?4?0)?P(X?2)?P(X??2)?P(X?2)?45 45.若随机变量X~N（2，σ2），且P{2 P{X<0}= . 【解】0.3?P(2?X?4)?P(??(22?2X?24?2?2????) ?)??(0)??(?2)?0.5 )?0. 8X?2?0?2?)??(2故 ?(?因此 P(X?0)?P(?2?? )?46.假设一厂家生产的每台仪器，以概率0.7可以直接出厂；以概率0.3需进一步调试，经调 ?1??()?0.2 试后以概率0.8可以出厂，以概率0.2定为不合格品不能出厂.现该厂新生产了n(n≥2)台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立）.求 （1） 全部能出厂的概率α； （2） 其中恰好有两台不能出厂的概率β； （3）其中至少有两台不能出厂的概率θ. 【解】设A={需进一步调试}，B={仪器能出厂}，则 A={能直接出厂}，AB={经调试后能出厂} 由题意知B=A∪AB，且 P(A)?0.3,P(B|A)?0.8P(AB)?P(A)P(B|A)?0.3?0.8?0.24 P(B)?P(A)?P(AB)?0.7?0.24?0.94令X为新生产的n台仪器中能出厂的台数，则X~6（n，0.94）, 故 ??P(X?n)?(0.94)2nn?22??P(X?n?2)?Cn(0.94)(0.06) ??P(X?n?2)?1?P(X?n?1)?P(X?n) ?1?n(0.94)n?10?.06( 0.94)n47.某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩（百分制）近似服从正态分布，平均成绩为72 分，96分以上的占考生总数的2.3%，试求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率. 【解】设X为考生的外语成绩，则X~N（72，σ2） 37 24?X?7296?72?0.023?P(X?96)?P???1??() ??????故 ?(查表知 从而X~N（72，12） 故 P(60?X?84)?P???60?7212?2 24?)?0.977 24??2,即σ=12 X?7212?84?72?? 12? ??(1)??(?1)?2?(1)? ?0.68248.在电源电压不超过200V、200V~240V和超过240V三种情形下，某种电子元件损坏的概 率分别为0.1，0.001和0.2（假设电源电压X服从正态分布N（220，252））.试求： （1） 该电子元件损坏的概率α; (2) 该电子元件损坏时，电源电压在200~240V的概率β 【解】设A1={电压不超过200V}，A2={电压在200~240V}， A3={电压超过240V}，B={元件损坏}。 由X~N（220，252）知 P(A1)?P(X?200) ?X?220?P?? 25???(?0.8?)?1?20?02?20? 25?0.212(0?.8)P(A2)?P(200?X?240) ?220X?220?200?P??? 2525???(0.8?)??(0?.8)2?40?220?25? 0.576P(A3)?P(X?240)?1?0.212?0.576?0.212 由全概率公式有 3??P(B)?由贝叶斯公式有 ?P(A)P(B|A)?0.0642 iii?1??P(A2|B)?P(A2)P(B|A2)P(B)?0.009 49.设随机变量X在区间（1，2）上服从均匀分布，试求随机变量Y=e2X的概率密度fY(y). 38 【解】f1,1?x?2X(x)????0,其他 因为P（1 ）=1 当y≤e2时FY（y）=P(Y≤y)=0. 当e2 时，FXY(y)?P(Y?y)?P(e2?y) ?P(1?X?12lny ) ???12lny1dx?12lny?1 当y≥e4时，FY(y)?P(Y?y)?1 ?0,y?e2?即 F?1Y(y)??lny?1,e2?y?e4 ?2??1,y?e4?故 f?1,e2?y?e4Y(y)??2y ??0,其他50.设随机变量X的密度函数为 f??e?x,x?0,X(x)=,x?0. ?0求随机变量Y=eX的密度函数fY(y). 【解】P（Y≥1）=1 当y≤1时，FY(y)?P(Y?y)?0 当y>1时，FXY(y)?P(Y?y)?P(e?y)?P(X?lny) ??lny?x0edx?1?1y ?即 F?1?1y,y>1Y(y)?? ??0,y?1?故 f?12,y>1Y(y)??y ??0,y?1 (1995研考) 39 51.设随机变量X的密度函数为 fX(x)= 1π(1?x)2, 求Y=1?3x的密度函数fY(y). 【解】FY(y)?P(Y?y)?P(1??3X?y)?P(X?(1?y)) 1πarctgx?(1?y33??(1?y31) ?π(1?x)2dx?)1?π3??arctg(1?y)?π??2? 故 fY(y)?3(1?y)62π1?(1?y) 52.假设一大型设备在任何长为t的时间内发生故障的次数N（t）服从参数为λt的泊松分布. （1） 求相继两次故障之间时间间隔T的概率分布； （2） 求在设备已经无故障工作8小时的情形下，再无故障运行8小时的概率Q.（1993 研考） 【解】（1） 当t<0时，FT(t)?P(T?t)?0 当t≥0时，事件{T>t}与{N(t)=0}等价，有 FT(t)?P(T?t)?1?P(T?t)?1?P(N(t)?0)?1?e??t ?1?e??t,t?0即 FT(t)?? t?0?0,即间隔时间T服从参数为λ的指数分布。 （2） Q?P(T?16|T?8)?P(T?16)/P(T?8)?e?16??8?e?e?8? 53.设随机变量X的绝对值不大于1，P{X=?1}=1/8，P{X=1}=1/4.在事件{?1 件下，X在{?1，1}内任一子区间上取值的条件概率与该子区间长度成正比，试求X的分布函数F（x）=P{X≤x}. (1997研考) 【解】显然当x 由题知P(?1?X?1)?1?18?14?58 x?12当?1 40