??y?yfX(x)dx
故fdY(y)?dyFY(y)?fX(y)?fX(?y)
?2?y2/22πe,y?0
31.设随机变量X~U（0,1），试求： （1） Y=eX的分布函数及密度函数； （2） Z=?2lnX的分布函数及密度函数. 【解】（1） P(0?X?1)?1
故 P(1?Y?eX?e?) 1当y?1时FY(y)?P(Y?y)?0
当1 ??lny0dx?lny 当y≥e时FXY(y)?P(e?y)?1 即分布函数 ?0,y?1F?Y(y)??lny,1?y?e ??1,y?e故Y的密度函数为 ?1f??eY(y)??y,1?y ??0,其他（2） 由P（0 P(Z?0)?1 当z≤0时，FZ(z)?P(Z?z)?0 当z>0时，FZ(z)?P(Z?z)?P(?2lnX?z) ?P(lnX??z2)?P(X?e?z/2) ??1?z/2e?z/2dx?1?e 31 即分布函数 ?0,FZ(z)??-z/2,?1-ez?0z?0 故Z的密度函数为 ?1?z/2,?efZ(z)??2?0,?z?0z?0 32.设随机变量X的密度函数为 ?f(x)=?2x?π2,0?x?π, ??0,其他.试求Y=sinX的密度函数. 【解】P(0?Y?1)?1 当y≤0时，FY(y)?P(Y?y)?0 当0 ?1212π（2arcsiny）?1-π（2π-arcsiny） ?2πarcsiyn 当y≥1时，FY(y)?1 故Y的密度函数为 ?210?y?1fy)???,Y(?π1?y2 ??0,其他33.设随机变量X的分布函数如下： ?F(x)??1?1?x2,x?(1), ??(2),x?(3).试填上(1),(2),(3)项. 【解】由limF(x)x???1知②填1。 32 由右连续性limF(x)?F(x0)?1知x0?0，故①为0。 x?x0+从而③亦为0。即 ?1,?F(x)??1?x2?1,?x?0x?0 34.同时掷两枚骰子，直到一枚骰子出现6点为止，求抛掷次数X的分布律. 【解】设Ai={第i枚骰子出现6点}。（i=1,2）,P(Ai)= 抛掷出现6点}。则 P(C)?P(A1?A2)?P(A1)?P(A2)?P(A1)P(A2) 16.且A1与A2相互独立。再设C={每次 ?16?16?16?111? 636 故抛掷次数X服从参数为 1136的几何分布。 35.随机数字序列要多长才能使数字0至少出现一次的概率不小于0.9? 【解】令X为0出现的次数，设数字序列中要包含n个数字，则 X~b(n,0.1) P(X?1)?1?P(X?0)?1?Cn(0.1)(0.9)?0.9 n即 (0.9)?00n0 .得 n≥22 即随机数字序列至少要有22个数字。 36.已知 ??0,?1?F（x）=?x?,2??1,??x?0,0?x?x?12.12, 则F（x）是（ ）随机变量的分布函数. （A） 连续型； （B）离散型； （C） 非连续亦非离散型. 【解】因为F（x）在（?∞,+∞）上单调不减右连续，且limF(x)?0 x???x???limF(x)?1,所以F（x）是一个分布函数。 但是F（x）在x=0处不连续，也不是阶梯状曲线，故F（x）是非连续亦非离散型随机变量的分布函数。选（C） 37.设在区间[a,b]上，随机变量X的密度函数为f(x)=sinx，而在[a,b]外，f(x)=0，则区间 [a,b] 33 等于（ ） (A) [0,π/2]; (B) [0,π]; (C) [?π/2,0]; (D) [0, 【解】在[0,π2]上sinx≥0，且?ππ/2032π]. sinxdx?1.故f(x)是密度函数。 在[0,π]上?sinxdx?2?1.故f(x)不是密度函数。 0在[?在[0,π232,0]上sinx?0，故f(x)不是密度函数。 π]上，当π?x?32π时，sinx<0，f(x)也不是密度函数。 故选（A）。 38.设随机变量X~N（0，σ2），问：当σ取何值时，X落入区间（1，3）的概率最大？ 【解】因为X~N(0,?),P(1?X?3)?P(21?3?X??3?1) ??(利用微积分中求极值的方法，有 g?(?)?(?3?)??(?)令g(?) ?2)??(23?)?21??2??(1?1) ?1/2?2??312?2 ??e?9/2?1?22?2e12??e?1/2?2[1?3e?8/2?令 ]?0得?0?24ln3,则 ?0? ln32又 g??(?0)?0 故?0?2ln32ln3为极大值点且惟一。 故当??时X落入区间（1，3）的概率最大。 39.设在一段时间内进入某一商店的顾客人数X服从泊松分布P（λ），每个顾客购买某种物品的概率为p，并且各个顾客是否购买该种物品相互独立，求进入商店的顾客购买这种 物品的人数Y的分布律. 【解】P(X?m)?e???mm!,m?0,1,2,? 设购买某种物品的人数为Y，在进入商店的人数X=m的条件下，Y~b(m,p)，即 34 P(Y?k|X?m)?Cmp(1?p)kkm?k,k?0,1,?,m 由全概率公式有 ?P(Y?k)??P(Xm?k?m)P(Y?k|X?m) ???m?k??e???mm!??Cmp(1?p)kkm?k?e?m?kp(1?p)k!(m?k)!k??mkm?k ?e????(?p)k!k?m?k?[(?1pm?k)](m?k)!) (?p)k!(?p)k!ek??e?(1?pe??p,k?0,1,2,?此题说明：进入商店的人数服从参数为λ的泊松分布，购买这种物品的人数仍服从泊 松分布，但参数改变为λp. 40.设随机变量X服从参数为2的指数分布.证明：Y=1?e?2X在区间（0，1）上服从均匀分布. 【证】X的密度函数为 ?2e?2x,fX(x)???0,x?0x?0 由于P（X>0）=1，故0<1?e?2X<1，即P（0 ?2x?1?y) 当0 ?2xln(1?y)2edx?y即Y的密度函数为 ?1,fY(y)???0,0?y?1其他 即Y~U（0，1） 41.设随机变量X的密度函数为 35