C）f?z?在D内解析，则
?f?z?dz?0
CD）f?z?在D内解析，在D?D?C上连续，则E）f?z?在D?D?C内解析，则
?f?z?dz?0
C?f?z?dz?0
C4．设函数f?z?在D内解析，则f??z?在D内
A）存在但不一定连续 B）不一定存在 C）存在且连续 D）可微 E）解析 5．设u,v为调和函数，且u是v的共轭调和函数，则 A）
?u?v?u?v?u?v?u?v?u?v? B）?? C）? D） ?? E）??
?x?y?y?x?y?y?x?y?y?x三、填空题：
1． 若f(z)?u(x,y)?iv(x,y)沿曲线C连续，则2． 设a为围线C内部一点，n为整数，则
?f?z?dz?
C??z?a?Cdzn?????????? ????????3． （积分估值）沿曲线C，f?z?连续，则
?f?z?dz?
C其中 、
4． 设C是一条围线，D为C之间内部区域，f(z)在D内 ，在D?D?C上 ，则?f?z?dz? C5． 设f(z)在单连通区域D内解析，则函数F(z)??f(?)d?，在D内 ，
z0z且
6． 设区域D的边界是围线C，f(z)在D内解析，在D?D?C上连接，则函数f(z)在D内有各阶导数且有f(n)(z)?
7． 如果二元函数H(x,y)在区域D内有二阶连续偏导数，且满足 则称
H(x,y)为区域D内的调和函数
8． 设是u(x,y)是在单连通区域D内的调和函数，则存在由积分确定的
v(x,y)= ，使u?vi?f(z)是D内的解析函数
3?2?7??19． 设C:z?3，f(z)??d?，则f?(1?i)?
C??z10．设f(z)在D内解析，a?D，圆周r:??a?R，只要 则有
(n)柯西不等式f(a)? ，其中：
四、计算题： 1．求积分
?2?a0之值，其中积分路径是连续0到2?a的摆线(2z2?8z?1d)zx?a(??sin?)y,?a(?1c?o s (a0)
2． 计算积分
?sinCz4dz，其C为一条围线，讨论之 z2?1?3． 求满足下列条件的解析函数f(z)?u?iv,u?x2?xy?y2,f(i)??1?i 4． 设f(z)在z1内解析，在闭圆z?1上连续，有f(0)?1，求积分：
1??1??dz 2?z?f(z)?????z?12?iz??2z??5． 计算积分
cosz?C(z?i)4dz，其中C绕i一周的围线
?1?2cos?dzd??0 之值（其中CC:z?1），证明：?0z?25?4cos?五、证明题 综合题： 1． 由积分
?C??2?2?222． 设f(z)在区域D内解析，试证：?2?2?f(z)?4f?(z)
??x?y?3． 设（1）f(z)在z?1上连续 （2）对任意的r(0 试证：
r1),?z?rf(z)dz?0
?z?1f(z)dz?0
4． 设在区域D??zargz?????内的单位圆周z?1上任何一点z，用D内曲线C连接02?与z，求：Redz?C1?z2
225． 已知u?v?(x?y)(x?2xy?y)?2(x?y)，试确定解析函数：f(z)?u?iv
第四章 复习题
一、单项选择题： 1． 复级数
?a??(ann?1n?1??n?ibn)收敛的充要条件是：
A）an?0 B）
???an?1?n收敛 C）实级数
?an?1?n及
?bn?1?n皆收敛
D）实级数
?an?1n及
?bn?1n至少有一个收敛
in2． 复级数? n?1n?A）条件收敛 B）绝对收敛 C）发散 D）以上都不是 3． 设fn(z)(n?1,2)定义于区域D内，若级数?fn(z)在D内 上一致收
n?1?敛，则称此级数在D内，内闭一致收敛
A）一个有界开集 B）任一有界开集 C）一个有界闭集 D）任一有界闭集 4．复级数在区域D内一致收敛是复级数在D内，内闭一致收敛的 条件 A）必要 B）充分 C）充要 D）无法确定的
nzn5．幂级数?n的收敛半径R?
n?12?A）0 B）1 C）2 D）
n1 2cnzn?1,?ncnzn?1?的收敛半径分别为r,R,?，则 6.幂级数?cnz,?n?1A）r?R?? B）R???r C）??r?R D）r?R?? 7.幂级数?cnzn在点a收敛，在点b发散，其收敛半径为R，则 A）a?R?b B）a?R?b C）a?R?b D）a?R?b 8.一个收敛的幂级数的和函数在其收敛圆周上____________奇点. A）没有 B）有一个 C）至少有一个 D）有无限多个
z2?sinz2的零点z?0是________级零点. 9.函数f(z)?z?62A）2 B）4 C）6 D）10
10. a是解析函数f(z)的m级零点,又是g(z)的n级零点,则a是f(z)?g(z)的_________
级零点.
A）min(m,n) B）max(m,n) C）至少min(m,n) D）至多max(m,n) 11.ln0(1?z)在0点展成z的幂级数,其泰勒系数Cn?____________
11n1n?11 B） C）(?1) D）(?1) nn!nn112.在原点解析,而在z?(n?1,2,???)处取___________组的函数f(z),是存在的
n111A）0,1,0,1,0,1,??? B）0,,0,,0,,???
24611111112345C）,,,,,,??? D）,,,,,???
22446623456A）
13.解析函数f(z)的零点a满足__________,则称a为n级零点.
A）f(a)?0,f(n)(a)?0 B）f(a)?f?(a)?????f(n)(a)?0,f(n?1)(a)?0 C）f(a)?f?(a)?????f(n?1)(a)?0,fn(a)?0 D）f(a)?f(n?1)(a)?0,fn(a)?0
14.求幂级数1?z?z?z????的收敛半径R为:______________ A）Cn不明确,无法求 B）R?limC）limnCn?n??249n??Cn Cn?111 D）limnCn?
x??RR15.在圆K:z?a?R内的解析函数f(z)?n???C(z?a)n?n,则Cn?__________
A）
n!f(?)d?1f(?)d? B）
2?i??(??a)n?12?i??(??a)n?1(n?1)!f(?)d?1f(?)d? D） nn????2?i(??a)2?i(??a)C）
(其中?:z?a?r,0?r?R)
二、多项选择题
1.一个幂级数在其收敛圆周上可能____________________
A）处处发散 B）既有收敛点,又有发散点 C）处处收敛 D）处处绝对收敛 E）和函数没有奇点
2.设在区域D内解析函数f1(z)及f2(z)在D内______________________相等,则f1(z)和
f2(z)在D内恒等.
A）一个点列{zn}上 B）某一子区域上 C）某一小段弧上 D）某一个线段 E）一个收敛于a的点列{zn}(zn?a)
3.设f(z)在z?2内解析,且不恒等于常数,则f(z)在点______________不能达到最大值.
A）1?5i3i B）1?3i C）1?3i D）2?2i E）1? 22?zn4.幂级数?2在闭圆z?1上_________________
n?1nA）收敛 B）条件收敛 C）绝对收敛 D）一致收敛 E）对有些点收敛,有些点发散 5.函数f(z)?z2(ez?1)有零点:_________________
A）z?0是级零点 B）z?0是三级零点 C）z?2?i是一级零点 D）z?2?i是二级零点 E）z?2?i是三级零点 二、填充题： 1．如果幂级数
?c(z?a)nn?0?n在某点z1(?a)收敛，则它必在圆________内_______收敛.
2．（Warstsereis (2)
定理）设(1)fn(z)(n?1,2,)_____________
??fn?1?n(z)_____________f(z)；f(z)??fn(z)
n?1则(1)f(z) __________________________, (2) ________________________________.
3. f(z)在区域D内解析的充要条件为__________________________即泰勒级数. 4. (Taylor定理)设f(z)在区域D内解析, a?D,只要圆K:z?a?R含于D,则
f(z)在K内可展成幂级数f(z)??cn(z?a)n其中cn=_______(________)
n?0?且_______________.
5. Ln(1?z)的各支的展式为lnk(1?z)=____________(__________________).
?1n6. 设, 则 ?cz?n21?z?zn?0