limf(z)?C0??，则
z???f(z)?f(?),z?D1f(?) d?????C2?i??z?0?f(?),z?D
第六章 复习题
一、单项选择题：
1．设f(z)在有限奇点a的某去心邻域内可展成罗朗级数：f(z)?则残数Resf(z)?__________
z?an????b(z?a)n?n，
A）b1B）b2C）b?1D）?b?1
2．f(z)在围线C所范围的区域D内，除a1,a2,,an外解析，在C上连续，则
?Cf(z)dz?____________
nnn1nA）?Resf(z) B）2?i?Resf(z) C）Resf(z) D）?i?Resf(z) ?z?akz?akz?ak2?ik?1z?akk?1k?1k?1z2?13．设f(z)?2，则Resf(z)?______________
z?0z?zA）? B）?1 C）0 D）1 4．积分
5z?2?z?2z(z?1)2dz?___________________
A）4?i B）?4?i C）0 D）8?i
15．积分
?z?1ezdz?_______________
2A）0 B）?2?i C）2?i D）?i
6．设f(z)在孤立奇点?的某去心邻域的罗朗展式为：f(z)?n????azn??n，则
Resf(z)?_____________________
z??A）a0 B）a1 C）a?1 D）?a?1
7．设f(z)在0?z???解析，则Resf(z)____________Resf(z)
z??z?0A）大于 B）小于 C）等于 D）等于负的 8．函数f(z)?z，则Resf(z)和分别等于_____________
z?1(z?1)(z?1)21111?i?i?i?i，? B）?， C），? D）?， 4444222219．对函数f(z)作变换z?，则Resf(z)?____________
z??tA）
A）Resf(t) B）?Resf(t) C）?Res?t?0t?0t?0?1??1? D） f(t)Resf(t)22???t?0?t??t?f?(z)f?(z)和Res分别等于______
z?bf(z)f(z)b是f(z)4级极点，10．设a是f(z)的3级零点，则Resz?aA）?3和4 B）3和?4 C）?4和3 D）4和?3
11．设f(z)在z?1内除三个五级极点外解析，并有四个四级零点，在z?1时解析且无零
点，则
?z?1f?(z)dz?_____________ f(z)A）?2?i B）2?i C）?1 D）1
12．方程z?17z?z?6?0在z?1内__________个零点 A）5 B）6 C）7 D)8
23413.设f(z)?z(z?1)(z?2)(z?3)，C:z?8525，则cargf(z)?________ 2A）6? B）8? C）10? D）12? 14．f(z)?1(z??)(z??)m（???，m为正整数），Resf(z)?_________
z?aA）
1111 B） C）? D） mm??????(???)(???)15．若f(z)在区域D内单页解析则在D内f?(z)?__________ A）?0 B）?0 C）?0 D）?0 二、多项选择题
1．设f(z)在围线C的内部区域D除可能有的极点外，在解析，在C上解析且不为零，N，
P分别表示f(z)在C内的零点与极点的个数，则?A）N?P B）
Cf?(z)dz?________________ f(z)1(N?P) C）cargf(z) 2?i D）2?i(N?P) E）icargf(z)
2．设f(z)以有限点a为孤立奇点在0?z?a?R内解析，其罗朗展式为
f(z)?A）2?in????C(z?a)n??n，?:z?a??，0???R；则Resf(z)?_______________
z?a?f(z)dz B）
1f(z)dz C）C?1 D）C0 E)C1 ??2?i3．当_______________时，
?2?0d?2??
1?2?cos???21??2A）??0 B）0???1 C）??1 D）??2 E)??3
z?0４．当f(z)?____________时，Resf(z)?0
1?coszsinz111z2?sinE)eA） B） C） D）
z23zez?1zz2５．当f(z)?____________时，
1?z?3f(z)dz?0
A）
z15z?2sin B） C） D）sinz E)cosz
z4?1zz(z?1)2三、填充题：
１．设a为f(z)的n级极点，则Resf(z)?______________________________
z?a其中_________________________ 2．设a为f(z)??(z)的一级极点，Resf(z)?__________________________
z?a?(z)其中___________________
3. 设?为f(z)的一个孤立奇点,则Resf(z)?___________________________
z??其中________________________________________. 4. 积分
cosz?z?1z3dz?__________________________________________________________.
5. 如果f(z)在扩充z大平面上只有有限个孤立奇点: a1,a2,___________________+_________________?0 6. 设f(z)?an,?,
P(z),其中P(z)和Q(z)分别为m次和n次多项 Q(z)式(互质)且__________________________,则
?????f(x)dx_________________________
7. 社g(z)沿半圆周?R:z?Rei?(0????,R充分大)上连续,且____________在F上一致成立,则limR????R?g(z)eimzdz?_______.(_________________)
8. 设g(z)?P(z),其中P(z)及Q(z)是互质的多项式,且合条件: Q(z)的次数比P(z)的次Q(z)??数_______________________________(2)__________________________________ (3)_________________________则有
???g(x)eimxdx?_____________________.
9. 设f(z)沿圆弧Sr:z?a?rei? (?1????2,r充分小)上连续,且_____________于Sr上一致成立,则有limr?0?srf(z)dz?________________________________.
四. 计算题:
z2m1. 求函数f(z)?在孤立奇点(包括?)处的残数(m是自然数)
1?zmez2. 求f(z)?2在孤立奇点处的残数.
z(z??i)43. 求积分:
dz?z?1(z?a)n(z?b)n (a?1,b?1且a?b,n为自然数)
4. 求积分:
?2?0d?(a?1)
a?cos?5. 求积分:
?????cosxdx 22(x?1)(x?9)6. 求积分:
????0x2dx
(x2?1)(x2?4)sinxdx
x(x2?1)27. 求积分:
??0五. 证明题 综合题:
1. 证明方程: ez?e?zn?0(??1)在单位圆z?1内有n个根
zn21znez?d?2. 试证: ()? 这里C是围绕原点的一条围线 ?n?cn!2?in!??3. 方程z?8z?10?0在圆z?1与1?z?3圆环内各有几个根?
44. 计算积分:
d??c?(??z), 其中C为单位圆周??1, z?C
5. 证明:
???0xlnxdx?? 2(x?1)