高等数学教案 §9 重积分
??y1?x2?y2d???ydy?D?1D1y?11?x2?y2dx?
2
例3 计算
??xyd?? 其中D是由直线y?x?2及抛物线y?x所围成的闭区域?
解 积分区域可以表示为D?D1+D2?
其中D, ?x?y?x? D2: 1?x?4, 2?y?x? 于是 1: 0?x?1
??xyd???dx?D021x?xxydy??dx?14xx?2xydy?
积分区域也可以表示为D? ?1?y?2? y2?x?y?2? 于是
??xyd????1dy?yDy?222x12[y(y?2)2?y5]dy ?2xydx??[y]y2dy?y?122??126y443152y2 ?[?y?2y?]?1?5?
24368讨论积分次序的选择?
例4 求两个底圆半径都等于?的直交圆柱面所围成的立体的体积? 解 设这两个圆柱面的方程分别为 x2?y2?? 2及x2?z2?? 2?
利用立体关于坐标平面的对称性? 只要算出它在第一卦限部分的体积V1? 然后再乘以8就行了?
第一卦限部分是以D?{(x? y)| 0?y?R2?x2, 0?x??}为底? 以z?R2?x2顶的曲顶柱体? 于是
V?8??DR?xd??8?dx?0R22RR2?x20R2?x2dy?8?[R2?x2y]0R0R2?x2dx
?8?0(R2?x2)dx?16R3?
3 二? 利用极坐标计算二重积分
有些二重积分? 积分区域D 的边界曲线用极坐标方程来表示比较方便? 且被积函数用极坐标变量? 、? 表达比较简单? 这时我们就可以考虑利用极坐标来计算二重积分
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??f(x,y)d??
D按二重积分的定义
lim?f(?i,?i)??i? ??f(x,y)d????0i?1Dn 下面我们来研究这个和的极限在极坐标系中的形式?
以从极点O出发的一族射线及以极点为中心的一族同心圆构成的网将区域D分为n个小闭区域? 小闭区域的面积为?
111222??(?i???i)???i???i??i??i??i? ?i2其中?i表示相邻两圆弧的半径的平均值?
在??i内取点( ?i , ?i )? 设其直角坐标为(? i? ? i)? 则有
??i?(?i???i)2???i???i2???i?(2?i???i)??i???i
?i??i cos?i? ?i??i sin?i?
lim?f(?i cos?i,?i sin?i)?i ??i??i? ?f(?i,?i)??i???0i?1i?1nn于是 lim即
??0?,?sin?)?d?d?? ??f(x,y)d????f(?cosDD若积分区域D可表示为
? 1(?)???? 2(?)? ??????
则
??f(?cos?,?sin?)?d?d???d??D??2(?)??1(?)f(?cos?,?sin?)?d??
讨论?如何确定积分限?
??f(?cos?,?sin?)?d?d????d??0D2?D0??(?)f(?cos?,?sin?)?d??
??f(?cos?,?sin?)?d?d???d????e?xD2?(?)0f(?cos?,?sin?)?d??
例5? 计算
?y2dxdy? 其中D是由中心在原点、半径为a 的圆周所围成的闭区
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域?
解 在极坐标系中? 闭区域D可表示为 0???a ? 0?? ?2? ? 于是
??e?xD2?y2adxdy???e???d?d???[?e???d?]d? ??[?1e??]0d?
0002D22?a22?2 ?(1?e?a) 注? 此处积分
122?022?d???(1?e?a)?
dxdy?
2??e?xD2?y2dxdy也常写成
x2?y2?a2??e?x?y2 利用
x2?y2?a2??e?x2?y2dxdy??(1?e?a2)计算广义积分?e?xdx?
0??2 设D1?{(x? y)|x2?y2?R2? x?0? y?0}? D2?{(x? y)|x2?y2?2R2? x?0? y?0}? S?{(x? y)|0?x?R? 0?y?R}? 显然D1?S?D2? 由于e?x
2?y2?0? 从则在这些闭区域上的二重积分之间有不等式
2??e?xD12?y2dxdy???e?xS?y2dxdy???e?xD22?y2dxdy?
因为
??e?xS2?y2dxdy??e?xdx??e?ydy?(?e?xdx)2?
000R2R2R2又应用上面已得的结果有
??e?xD12?y2dxdy??(1?e?R)?
42??e?xD22?y2dxdy??(1?e?2R)?
42于是上面的不等式可写成
?(1?e?R2)?(Re?x2dx)2??(1?e?2R2)?
?404令R???? 上式两端趋于同一极限
?? 从而??e?x2dx???
?4 02 例6 求球体x2?y2?z2?4a2被圆柱面x2?y2?2ax所截得的（含在圆柱面内的部分）立体的体积?
解 由对称性? 立体体积为第一卦限部分的四倍?
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V?4??D4a2?x2?y2dxdy?
其中D为半圆周y?2ax?x2及x轴所围成的闭区域? 在极坐标系中D可表示为 0???2a cos? ? 0???于是 V?4 ??
22acos?2d?00??D4a???d?d??4??22??4a2??2?d?
3232?2 ?a2?2(1?sin3?)d??a2(?)?
03323
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§10?3 三重积分
一、三重积分的概念
定义 设f(x? y? z)是空间有界闭区域?上的有界函数? 将?任意分成n个小闭区域 ?v1? ?v2? ? ? ? ? ?vn
其中?vi表示第i个小闭区域? 也表示它的体积? 在每个?vi上任取一点(?i? ?i? ?i)? 作乘积f(?
i? ? i? ? i)?vi(i?1? 2? ? ? ?? n)并作和
?f(?i,?i,?i)?vi? 如果当各小闭区域的直径中的最大值?i?1n趋于零时? 这和的极限总存在? 则称此极限为函数f(x? y? z)在闭区域?上的三重积分? 记作
???f(x,y,z)dv? 即
?
lim?f(?i,?i,?i)?vi? ???f(x,y,z)dv???0i?1?n 三重积分中的有关术语?
???——积分号? f(x? y? z)——被积函数? f(x? y? z)dv——被
?积表达式? dv体积元素? x? y? z——积分变量? ?——积分区域?
在直角坐标系中? 如果用平行于坐标面的平面来划分?? 则?vi??xi ?yi?zi ? 因此也把体积元素记为dv ?dxdydz? 三重积分记作
???f(x,y,z)dv????f(x,y,z)dxdydz?
?? 当函数f (x? y? z)在闭区域?上连续时? 极限lim?f(?i,?i,?i)?vi是存在的?
??0i?1n因此f(x? y? z)在?上的三重积分是存在的? 以后也总假定f(x? y? z)在闭区域?上是连续的? 三重积分的性质? 与二重积分类似? 比如
???[c1f(x,y,z)?c2g(x,y,z)]dv?c1???f(x,y,z)dv?c2???g(x,y,z)dv?
???
?1??2???f(x,y,z)dv????f(x,y,z)dv????f(x,y,z)dv?
?1?2
???dv?V? 其中V为区域?的体积?
? 二、三重积分的计算
1? 利用直角坐标计算三重积分
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