高等数学教案 §9 重积分
三重积分的计算? 三重积分也可化为三次积分来计算? 设空间闭区域?可表为 z1(x? y)?z?z2(x? y)? y1(x)?y?y2(x)? a?x?b? 则
???f(x,y,z)dv???[??Dz2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz]d?
?dxb?a?y(x)11by2(x)[?z2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz]dy f(x,y,z)dz? f(x,y,z)dz?
?dx即
b?a?y(x)dy?z(x,y)1y2(x)z2(x,y)???f(x,y,z)dv??dx??ay2(x)y1(x)dy?z2(x,y)z1(x,y)其中D : y1(x)? y? y2(x)? a?x?b? 它是闭区域?在xOy面上的投影区域? 提示?
设空间闭区域?可表为
z1(x? y)?z?z2(x? y)? y1(x)?y?y2(x)? a?x?b? 计算???f(x,y,z)dv?
?基本思想?
对于平面区域D? y1(x)?y?y2(x)? a?x?b内任意一点(x? y)? 将f(x? y? z)只看作z的函数? 在区间[z1(x? y)? z2(x? y)]上对z积分? 得到一个二元函数F(x? y)? F(x,y)?z2(x,y)1?z(x,y)f(x,y,z)dz?
然后计算F(x? y)在闭区域D上的二重积分? 这就完成了f(x? y? z)在空间闭区域?上的三重积分?
??F(x,y)d????[?DD1z2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz]d???dx?aby2(x)y1(x)[?z2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz]dy?
则
???f(x,y,z)dv???[?z(x,y)?Dz2(x,y)f(x,y,z)dz]d?
z2(x,y)1 ?dxb?a?y(x)[?z(x,y)1by2(x)f(x,y,z)dz]dy f(x,y,z)dz?
?dx?a?y(x)1y2(x)dy?z2(x,y)z1(x,y)重庆三峡学院高等数学课程建设组
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即
???f(x,y,z)dv??dx??aby2(x)y1(x)dy?z2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz?
其中D : y1(x)? y? y2(x)? a?x?b? 它是闭区域?在xOy面上的投影区域? 例1 计算三重积分域?
解 作图? 区域?可表示为:
0?z?1?x?2y? 0?y?(1?x)? 0?x?1? 于是
???xdxdydz? 其中?为三个坐标面及平面x?2y?z?1所围成的闭区
?12???xdxdydz ??0dx??11?x1?x?2y2dyxdz 00? ??0xdx?11?x2(1?x?2y)dy0
111?
??(x?2x2?x3)dx?4048 讨论? 其它类型区域呢?
有时? 我们计算一个三重积分也可以化为先计算一个二重积分、再计算一个定积分? 设空间闭区域??{(x? y? z)|(x? y)?Dz? c1? z?c2}? 其中Dz是竖坐标为z 的平面截空间闭区域?所得到的一个平面闭区域? 则有
???f(x,y,z)dv??dz??f(x,y,z)dxdy?
?c1Dz2c22y2z2x 例2 计算三重积分???zdxdydz? 其中?是由椭球面2?2?2?1所围成的空间闭
abc?区域?
解 空间区域?可表为:
22y2xz 2?2?1?2? ?c? z?c?
abc于是
????2zzdxdydz ?zdzdxdy??ab?(1?2)z2dz?4?abc3?
?c?c15cD2?c2??zc 练习
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高等数学教案 §9 重积分
1? 将三重积分I????f(x,y,z)dxdydz化为三次积分? 其中
? (1)?是由曲面z?1?x2?y2? z?0所围成的闭区域?
(2)?是双曲抛物面xy?z及平面x?y?1?0? z?0所围成的闭区域? (3)其中?是由曲面z?x2?2y2及z?2?x2所围成的闭区域? 2? 将三重积分I????f(x,y,z)dxdydz?化为先进行二重积分再进行定积分的形式? 其
中?由曲面z?1?x2?y2? z?0所围成的闭区域? 2? 利用柱面坐标计算三重积分
设M(x? y? z)为空间内一点? 并设点M在xOy面上的投影P 的极坐标为P(?? ? )? 则这样的三个数?、? 、z就叫做点M的柱面坐标? 这里规定?、? 、z的变化范围为? 0??
?x??cos?? x??cos?? y??sin?? z?z ? ?y??sin?
??z?z 柱面坐标系中的体积元素? dv??d?d?dz? 简单来说? dxdy??d?d? ? dxdydz?dxdy?dz??d?d? dz? 柱面坐标系中的三重积分?
???f(x,y,z)dxdydz????f(?cos?,?sin?,z)?d?d?dz?
??22zdxdydz? 其中?是由曲面z?x?y与平面z?4所??? 例3 利用柱面坐标计算三重积分围成的闭区域?
解 闭区域?可表示为? ?2?z?4? 0???2? 0???2?? 于是
????zdxdydz????z?d?d?dz
??2?21 ??d???d??2zdz??d???(16??4)d?
00?0201164??
??2?[8?2??6]2?0263242? 3? 利用球面坐标计算三重积分
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设M(x? y? z)为空间内一点? 则点M也可用这样三个有次序的数r、?、? 来确定? 其中 r为原点O与点M间的距离? ?为OM与z轴正向所夹的角? ?为从正z轴来看自x轴按逆时针方向转到有向线段OP的角? 这里P为点M在xOy面上的投影? 这样的三个数r、? 、
??? 叫做点M的球面坐标? 这里r、?、? 的变化范围为
0?r
?x?rsin?cos?? x?rsin?cos?? y?rsin?sin?? z?rcos? ? ?y?rsin?sin?
??z?rcos? 球面坐标系中的体积元素? dv?r2sin?drd?d? ? 球面坐标系中的三重积分?
?d?? ???f(x,y,z)dv????f(rsin?cos?,rsin?sin?,rcos?)r2sin?drd?? 例4 求半径为a的球面与半顶角?为的内接锥面所围成的立体的体积? 解 该立体所占区域?可表示为? 0?r?2acos?? 0????? 0???2?? 于是所求立体的体积为 V????dxdydz????r2sin?drd?d???d??d????2??2acos?000r2sin?dr
?2? ??0?sin?d??2acos?0r2dr
16?a3?cos4?a3(1?cos34?sin?d??a)? ?303提示? 球面的方程为x2?y2?(z?a)2?a2? 即x2?y2?z2?2az? 在球面坐标下此球面的方程为r2?2arcos?? 即r?2acos??
§10? 4 重积分的应用
元素法的推广?
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有许多求总量的问题可以用定积分的元素法来处理? 这种元素法也可推广到二重积分的应用中? 如果所要计算的某个量U对于闭区域D具有可加性(就是说? 当闭区域D分成许多小闭区域时? 所求量U相应地分成许多部分量? 且U等于部分量之和)? 并且在闭区域D内任取一个直径很小的闭区域d?时? 相应的部分量可近似地表示为f(x? y)d? 的形式? 其中(x? y)在d?内? 则称f(x? y)d? 为所求量U的元素? 记为dU? 以它为被积表达式? 在闭区域D上积分? U???f(x,y)d??
D这就是所求量的积分表达式? 一、曲面的面积
设曲面S由方程 z?f(x? y)给出? D为曲面S在xOy面上的投影区域? 函数f(x? y)在D上具有连续偏导数fx(x? y)和fy(x? y)? 现求曲面的面积A ?
在区域D内任取一点P(x? y)? 并在区域D内取一包含点P(x? y)的小闭区域d?? 其面积也记为d?? 在曲面S上点M(x? y? f(x? y))处做曲面S的切平面T? 再做以小区域d?的边界曲线为准线、母线平行于z轴的柱面? 将含于柱面内的小块切平面的面积作为含于柱面内的小块曲面面积的近似值? 记为dA? 又设切平面T的法向量与z轴所成的角为? ? 则 dA?d??1?f2(x,y)?f2(x,y)d?? xycos?这就是曲面S的面积元素? 于是曲面S 的面积为 A???D1?fx2(x,y)?fy2(x,y)d??
1?(?z)2?(?z)2dxd?y?x?y或 A???D 设dA为曲面S上点M处的面积元素? dA在xOy面上的投影为小闭区域d?? M在xOy面上的投影为点P(x? y)? 因为曲面上点M处的法向量为n?(?fx? ?fy? 1)? 所以 dA?|n|d??1?fx2(x,y)?fy2(x,y)d?? 提示? dA与xOy面的夹角为(n?^ k)? dAcos(n?^ k)?d?? n?k?|n|cos(n?^ k)?1? cos(n?^ k)?|n|?1?
讨论? 若曲面方程为x?g(y? z)或y?h(z? x)? 则曲面的面积如何求？
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