高等数学教案 §9 重积分
A?Dyz??1?(?x)2?(?x)2dydz?
?y?z1?(?y2?y2)?()dzdx? ?z?x或 A?Dzx??其中Dyz是曲面在yOz面上的投影区域? Dzx是曲面在zOx面上的投影区域? 例1 求半径为R的球的表面积?
解 上半球面方程为z?R2?x2?y2? x2?y2?R2?
因为z对x和对y的偏导数在D? x2?y2?R2上无界? 所以上半球面面积不能直接求出? 因此先求在区域D1? x2?y2?a2 (a?R)上的部分球面面积? 然后取极限?
2x?y2?a2??2?ardr Rdxdy?R?d??00R2?r2R2?x2?y2 ?2?R(R?R2?a2)?
于是上半球面面积为lim2?R(R?R2?a2)?2?R2?
a?R整个球面面积为 A?2A1?4?R2? 提示?
?y?z??x?z??z?zR? ? 1?()2?()2?? 222222222?x?y?x?yR?x?yR?x?yR?x?y 解 球面的面积A为上半球面面积的两倍? 上半球面的方程为z?R2?x2?y2? 而
?y?z??x?z?? ?
222222?x?yR?x?yR?x?y所以 A?2x2?y2?R2??1?(?z)2?(?z)2
?x?y2?R?d?R dxdy?2R?d??2222200R??R?x?y ?2x2?y2?R2??重庆三峡学院高等数学课程建设组
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R0 ??4?RR2??2 ?4?R2?
例2设有一颗地球同步轨道通讯卫星? 距地面的高度为h?36000km? 运行的角速度与地球自转的角速度相同? 试计算该通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比值(地球半径R?6400km)?
解 取地心为坐标原点? 地心到通讯卫星中心的连线为z轴? 建立坐标系? 通讯卫星覆盖的曲面?是上半球面被半顶角为?的圆锥面所截得的部分? ?的方程为 z?R2?x2?y2? x2?y2?R2sin2?? 于是通讯卫星的覆盖面积为 A?Dxy??R1?(?z)2?(?z)2dxdy???dxdy?
222?x?yDxyR?x?y其中Dxy?{(x? y)| x2?y2?R2sin2?}是曲面?在xOy面上的投影区域? 利用极坐标? 得 A??02?d??Rsin?0Rsin??R?d??2?R?d??2?R2(1?cos?)? 0R2??2R2??2R? 代入上式得
R?hR)?2?R2h?
A?2?R2(1?R?hR?h由于cos??由此得这颗通讯卫星的覆盖面积与地球表面积之比为
6Ah36?10???42.5%?
4?R22(R?h)2(36?6.4)?106 由以上结果可知? 卫星覆盖了全球三分之一以上的面积? 故使用三颗相隔通讯卫星就可以覆盖几乎地球全部表面? 二、质心
2?角度的3 设有一平面薄片? 占有xOy 面上的闭区域D? 在点P(x? y)处的面密度为?(x? y)? 假定
?(x? y)在D上连续? 现在要求该薄片的质心坐标?
在闭区域D上任取一点P(x? y)? 及包含点P(x? y)的一直径很小的闭区域d?(其面积也记为d?)? 则平面薄片对x轴和对y轴的力矩(仅考虑大小)元素分别为 dMx?y?(x? y)d?? dMy?x?(x? y)d??
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平面薄片对x轴和对y轴的力矩分别为 Mx???y?(x,y)d?? My???x?(x,y)d??
DD 设平面薄片的质心坐标为(x, y)? 平面薄片的质量为M? 则有 x?M?My? y?M?Mx ? 于是
x?My?M??x?(x,y)d?D???(x,y)d?D? y?Mx?M??y?(x,y)d?D???(x,y)d?D?
在闭区域D上任取包含点P(x? y)小的闭区域d?(其面积也记为d?)? 则 平面薄片对x轴和对y轴的力矩元素分别为 dMx?y?(x? y)d?? dMy?x?(x? y)d?? 平面薄片对x轴和对y轴的力矩分别为 Mx???y?(x,y)d?? My???x?(x,y)d??
DD 设平面薄片的质心坐标为(x, y)? 平面薄片的质量为M? 则有 x?M?My? y?M?Mx ? 于是
x?(x,y)d?y?(x,y)d???My??M x?? y?x?D? ?DMM???(x,y)d????(x,y)d?DD 提示? 将P(x? y)点处的面积元素d?看成是包含点P的直径得小的闭区域? D上任取一点P(x? y)? 及包含的一直径很小的闭区域d?(其面积也记为d?)? 则平面薄片对x轴和对y轴的力矩(仅考虑大小)元素分别为
讨论? 如果平面薄片是均匀的? 即面密度是常数? 则平面薄片的质心(称为形心)如何求？
求平面图形的形心公式为
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??xd? x?D??yd?? y?D??d?D??d?D?
例3 求位于两圆??2sin? 和??4sin? 之间的均匀薄片的质心?
解 因为闭区域D对称于y轴? 所以质心C(x, y)必位于y轴上? 于是x?0? 因为
??yd?????2sin?d?d???sin?d??DD?4sin?02sin??2d??7??
22d????2???1?3?? ??D??yd?所以y?DD?7??7? 所求形心是C(0, 7)?
3??d?3?3 类似地? 占有空间闭区域?、在点(x? y? z)处的密度为?(x? y? z)(假宽?(x? y? z)在?上连续)的物体的质心坐标是 x?1M???x?(x,y,z)dv?
?y?1M???y?(x,y,z)dv? z?M???z?(x,y,z)dv?
??1 其中M?????(x,y,z)dv?
? 例4 求均匀半球体的质心?
解 取半球体的对称轴为z轴? 原点取在球心上? 又设球半径为a? 则半球体所占空间闭区可表示为
??{(x? y? z)| x2?y2?z2?a2? z?0} 显然? 质心在z轴上? 故x?y?0?
z????z?dv???zdv?????dv???3a?
???dv8??故质心为(0, 0, 3a)? 8提示? ?? 0?r?a? 0????? 0???2??
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???dv????2d?00?2?d??rsin?dr??0a22?a2sin?d?d?r2dr000???32?a?? 3???zdv???2?a2d?d?rcos??r2sin?dr000???42?a?1?2sin2?d??d??r3dr?1?2??a?
002420?
三、转动惯量
设有一平面薄片? 占有xOy面上的闭区域D? 在点P(x? y)处的面密度为?(x? y)? 假定?(x? y)在D上连续? 现在要求该薄片对于x轴的转动惯量和y轴的转动惯量?
在闭区域D上任取一点P(x? y)? 及包含点P(x? y)的一直径很小的闭区域d?(其面积也记为d?)? 则平面薄片对于x轴的转动惯量和y轴的转动惯量的元素分别为 dIx?y2?(x? y)d? ? dI y?x2?(x? y)d? ?
整片平面薄片对于x轴的转动惯量和y轴的转动惯量分别为 Ix???y2?(x,y)d?? Iy???x2?(x,y)d??
DD 例5 求半径为a 的均匀半圆薄片(面密度为常量?)对于其直径边的转动惯量? 解 取坐标系如图? 则薄片所占闭区域D可表示为 D?{(x? y)| x2?y2?a2? y?0}
而所求转动惯量即半圆薄片对于x轴的转动惯量Ix ? Ix????y2d??????2sin2???d?d?
DD ?? ?其中M??0sin? d??0?2a4?a2?d?????sin? d?
4031?a4???1Ma2? 4241?a2?为半圆薄片的质量?
2 类似地? 占有空间有界闭区域?、在点(x? y? z)处的密度为?(x? y? z)的物体对于x、y、z轴的转动惯量为 Ix? Iy????(y2?z2)?(x,y,z)dv?
?22(z?x)?(x,y,z)dv? ????重庆三峡学院高等数学课程建设组