第一章习题解
1.1 数的基本知识 1．求9405与5313的最大公因数 解：9405?5313?4902，5313?4902?411，4909?11?411?388
411?388?23，而(23,388)?1，所以（9405，5313）=1
2．设a1,a2,?,an?Z，证明(a1,a2,?,an)?((a1,a2,?,an?1),an) 证明：令d1?(a1,a2,?,an), d2?((a1a,2?,an,?1a)n, )由d1?(a1,a2,?,an),?d1ai,i?1,2,?,n?1;d1an
?d1(a1,a2,?,an?1),(d1an)?d1((a1,a2,?,an?1),an)?d1d2
由d2?((a1,a2,?,an?1),an)?d1(a1,a2,?,an?1),d1an
?d1ai(i?1,2,?,n?1),d1an?dai(i?1,2,?,n)?d2(a1,a2,?,an)?d2d1
所以d1?d2
3．求(504, 630, 1764, 4536) 解：630=504+126，504=126·4→(630,504)=126
4536=2·1764+1008, 1764=1008+756,1008=756+252,756=252·3→(1764,4536)=252 252=126·2
所以(504, 630, 1764, 4536)=126 4.设a,b,c?Z,ab,ac,证明a2bc 证明: ab?b?aq;ac?c?ap?bc?a2(pq)?a2bc 5. 设a,b?Z,ab,ba,证明a??b 证明:ab?b?aq;ba?a?bp?b?(bp)q?pq?1
p??1?a??b
6.设a是整数x是任意整数,那么ax?a??1;xa?a?0 证明:若ax对任意整数x成立,那么取x?1,有a1?a??1;反之,若a??1,ax显然成立;
若xa对任意整数x成立,即a?xp对任意整数x成立,取x?0?a?0;反之,若
a?0,xa显然成立.
7.设a,b,d?Z, 且d?(a,b), 证明存在u,v?Z, 使得d?au?bv 证明:如果a?b?0,则(a,b)?0?a?0?b?0,所以结论成立; 如果a,b不全为零,那么一定存在整数s,t使as?bt?0,
令所有这样的正整数组成的集合为D,即:D?{as?bt?0|s,t?Z}, 由于D是正整数组成的集合,故必有一个最小整数, 设这个正整数为d?,即有整数u,v使d??au?bv 我们说d?就是a,b的最大公因数.
事实上,对于a,b的任意公因数h,显然有hau?bv?hd?;
如果d?不是a,b的公因数,不妨设d?不是a的因数,那么由带余除法,有
a?d?q?r,0?r?d?
于是 a?(au?bv)q?r?r?a(1?qu)?b(?qv)?r?D 这与d?是D中最小数的假设矛盾.
8.设P是大于1的整数, a,b是任意整数,如果由pab就有pa或pb,则p一定是质数. 证明:如果P不是质数,那么有两个大于1的整数s,t使p?st,1?s?p,1?t?p 显然有pst,按题设,应有ps或pt,但这显然不可能..
9.设S1,S2都是数环,请问S1?S2与S1?S2是否是数环,为什么? 解: S1?S2是数环,而S1?S2未必是数环.
事实上:?a,b?S1?S2?a,b?S1?a?b,a?b,ab?S1 同理: a,b?S2?a?b,a?b,ab?S1 所以a?b,a?b,ab?S1?S2,即S1?S2是数环.
取S1?{5k|k?Z},S2?{7k|k?Z},这时5?S1,7?S2,但
5?7?12?S1,12?S2?12?S1?S2
所以S1?S2未必是数环.
10.证明数集合S?{a?b2i|a,b?Z}(i是虚数单位)是数环,但不是数域. 证明:?a?b2i,c?d2i?S?(a?b2i)?(c?d2i)?(a?c)?(b?d)2i?S
(a?b2i)?(c?d2i)?(a?c)?(b?d)2i?S (a?b2i)(c?d2i)?(ac?2bd)?(ad?bc)2i?S
所以S?{a?b2i|a,b?Z}是数环; 但1?1?02i?S,2i?0?2i?S,12i?121i?S,所以 2i,而?Z,所以
222S?{a?b2i|a,b?Z}不是数域;
11.试写出包含2的最小数域. 2解:S?{a?b2|a,b?Q} 1.2一元多项式
1.若f(x)?x4?2x3?3x2?x?1,g(x)?3x3?2x2?x?1,求
f(x)?g(x),f(x)?g(x),和f(x)g(x)
解：f(x)?g(x)?x?x?x,f(x)?g(x)?x?5x?5x?2x?2
432432f(x)g(x)?3x7?14x6?14x5?12x4?10x3?6x2?2x?1
2.求a,b,c使(2x?bx?1)(x?ax?1)?2x?5x?cx?x?1
解：(2x?bx?1)(x?ax?1)?2x?(b?2a)x?(1?ab)x?(a?b)x?1
2243222432?2x4?5x3?cx2?x?1
所以: b?2a?5,1?ab?c,a?b??1?a??2,b?1,c?3
3.a,b,c,d取何值时,多项式f(x)?(3a?2b?c)x?(a?b?c)x?dx?2与
32g(x)?(a?c)x3?(2a?d)x2?(c?a)x?b相等.
解：a?1,b?2,c?3,d?4
4.将多项式f(x)?3x?2x?ax?2x?3化成x?2的方幂形式
432解：f(x)?3(x?2)4?26(x?2)3?85(x?2)2?122(x?2)?61 5.设多项式f(x)?0,g(x)?0,问f(x),g(x)的系数满足什么条件时,公式
?(f(x)?g(x))?max{?f(x),?g(x)}
等号成立?满足什么条件时,小于号成立?
解：设f(x)?anxn?an?1xn?1???a1x?a0,g(x)?bnxn?bn?1xn?1???b1x?b0 当an?bn?0时,公式中的等号成立; 当an?bn?0时,公式中的小于号成立;
6.设f(x),g(x),h(x)?R[x],若f2(x)?xg2(x)?xh2(x),则f(x)?g(x)?h(x)?0 证明：如果g(x),h(x)至少有一个不是零多项式.
由于g(x),h(x)?R[x],所以?(g2(x)?h2(x))?max{?g2(x),?h2(x)}
于是等式f2(x)?xg2(x)?xh2(x)右边的的次数为奇数,而左边的次数为偶数,这导致矛盾,所以必然有f(x)?g(x)?h(x)?0
7. .设f(x),g(x)?R[x],若f(x)?0,g(x)?0,证明则f2(x)?g2(x)?0 证明：设f(x)?anxn?an?1xn?1???a1x?a0,an?0,
g(x)?bmxm?bm?1xm?1???b1x?b0,bm?0,并且m?n
222于是f(x)?g(x)的最高次项的系数为an?bm,(m?n)或an,(m?n),不论是哪种情形,
22f2(x)?g2(x)的最高次项的系数都不为零,所以f2(x)?g2(x)?0
(但这个结论对复数域上的多项式不成立,例如f(x)?ix,g(x)?x,但
22f2(x)?g2(x)??x4?x4?0
1.3多项式的整除性
1.用g(x)除f(x),求商式q(x)和余式r(x): (1) f(x)?4x?3x?2x?1,g(x)?x?2x?3 (2) f(x)?x?2x?x?3,g(x)?2x?x?3
解：(1) f(x)?g(x)(4x?5)?16,q(x)?4x?5,r(x)??16
432322(2) f(x)?g(x)(1239173139173x?x?)?x?,q(x)?x2?x?,r(x)?x? 24888248882.确定a,b的值,使g(x)?x2?2x?3能整除f(x)?x4?3x3?6x2?ax?b 解：利用长除法,得
f(x)?g(x)(x2?x?1)?(a?5)x?b?3,所以a??5,b?3
3.下列命题是否成立,为什么?
(1)若h(x)f(x),h(x)|g(x),则h(x)|f(x)?g(x) (2) 若h(x)|f(x),h(x)|g(x),则h(x)|f(x)?g(x) (3) 若h(x)|,h(x)|g(x),则h(x)|f(x)g(x) (4) 若f(x)g(x),?f(x)??g(x),则g(x)|f(x) 解：(1)成立,否则由h(x)f(x),h(x)|f(x)?g(x),则
h(x)|[f(x)?g(x)]?f(x)?g(x)导致矛盾;
(2)不成立,例如h(x)?x,f(x)?x?1,g(x)?x?1,但x|2x,即h(x)|f(x)?g(x)
222(3) 不成立,例如h(x)?x,f(x)?x,g(x)?2x,但x|2x,即h(x)|f(x)g(x)
(4)成立,由于f(x)g(x)?所以f(x),g(x)只相差一个常数因子,所以,f(x)??g(x,)g(x)|f(x)成立.
4.若f(x),g(x),h(x)?F[x],h(x)?0,证明h(x)[f(x?的充分必要条件是)g(x)]f(x),g(x)被h(x)除得的余式相等.
证明：(?)设f(x)?h(x)q1(x)?r1(x),g(x)?h(x)q2(x)?r2(x),其中
r1(x)?0or0??r1(x)??h(x)和r2(x)?0or0??r2(x)??h(x)
于是f(x)?g(x)?h(x)[q1(x)?q2(x)]?[r1(x)?r2(x)],由h(x)[f(x)?g(x)]?
h(x)r1(x)?r2(x)但?[r1(x)?r2(x)]?max{?r1(x),?r2(x)}??h(x),这显然不可能,除非r1(x)?r2(x)?0,即r1(x)?r2(x)
(?)设f(x)?h(x)q1(x)?r(x),g(x)?h(x)q2(x)?r(x),其中