依题意有f(x)g(x)|h(x)?d(x)f1(x)g1(x)
即d(x)f1(x)d(x)g1(x)|d(x)f1(x)g1(x)?d(x)|1?d(x)?1 即 (f(x),g(x))?1 8.设
f(x)与g(x)是F[x]中的多项式，如果F[x]中的一个多项式m(x)满足下列条
f(x)与g(x)的一个最小公倍式：
件，则m(x)叫做1)
f(x)|m(x),g(x)|m(x)；
f(x)|h(x),g(x)|h(x)则m(x)|h(x)
2)如果F[x]中的多项式h(x)满足：
（1）证明：F[x]中任意两个多项式都有最小公倍式，并且除了可能的零次因式的差别外，最小公倍式是唯一的； （2）设
f(x)与g(x)的首项系数都是1的多项式，我们用[f(x),g(x)]表示首项系数
f(x)g(x)?(f(x),g(x))[f(x),g(x)]；
为1的最小公倍式，证明
证明 (1) 令f(x)?d(x)f(x)1,g(x)?d(x)g1(x),d(x)?(f(x),g(x))，则
取m(x)?d(x)f1(x)g1(x)，显然m(x)是f(x),g(x)的一个公倍式； (f1(x),g1(x))?1；
其次，设h(x)是f(x),g(x)的任意一个公倍式，那么f|h,g|h，h?fq1?gq2
?f1dq1?g1dq2?f1q1?g1q2???g1|q1?q1?g1q3
(f1,g1)?1?所以 h?fg1q3?df1g1q3?m(x)q3?m|h，即m(x)是f(x),g(x)的一个最小公倍式。
又若m1(x)也是f(x),g(x)的一个最小公倍式。按定义，必然是m1|m;m|m1 因此m(x),m1(x)只相差一个零次因式。 （2）由于
f(x)与g(x)的首项系数都是
1，所以（1）中的多项式d(x),f1(x),g1(x)都
可以取成首项系数都是1的多项式；即
fg?d2f1g1?d[df1g1]?dm
且m(x)也是首项系数为1的多项式，故d?(f,g),m?[f,g]，
所以
f(x)g(x)?(f(x),g(x))[f(x),g(x)]
9.求[f(x),g(x)]：
（1）f(x)?x2?3x?2,g(x)?x2?2x?3； （2）f(x)?x3?5x2?7x?6,g(x)?x2?5x?7 （3）f(x)?x3?2x2?3x?6,g(x)?x3?x?10
解：（1）f(x)?(x?1)(x?2),g(x)?(x?3)(x?1)?(f,g)?x?1 所以 [f,g]?(x?1)(x?2)(x?3)
（2）f(x)?x3?5x2?7x?6,g(x)?x2?5x?7?(f,g)?1 所以 [f,g]?fg?(x3?5x2?7x?6)(x2?5x?7) ?x?10x?39x?64x?19x?42 （3）f(x)?(x?2)(x2?3),g(x)?(x?2)(x2?2x?5) 所以 [f(x),g(x)]?(x?2)(x2?3)(x2?2x?5)
1.5多项式因式分解
1.利用标准分解式求f(x)?(x?4)与g(x)?x?4x?3x?4x?4的最大公因式; 解: f(x)?(x?4)?(x?2)(x?),g(x)?(x?1)(x?1)(x?2) 所以 (f(x),g(x))?(x?2)
2.证明多项式f(x)?2x?3与g(x)?x?2在Q上都不可约.并指出它们在哪个数域上可约.
证明:由于f(x)?2x?3是整系数多项式,并且没有实数根,因此这个多项式在Q与R上都不可约;
由于g(x)?x?2是3次多项式,并且仅有唯一的实数根为32?Q,因此g(x)在Q上不可约;而在R上,g(x)?(x?32)(x2?32?34),所以g(x)在R与C上都可约. 3.求多项式f(x)?x?7x?13x?6在Q、R上的标准分解式
323223222222224325432解: 在Q上:f(x)?x3?7x2?13x?6?(x?2)(x2?5x?3)
32在R上: f(x)?x?7x?13x?6?(x?2)(x?5?135?13)(x?) 224.设p(x)?F[x],?p(x)?0,证明:若对任意f(x),g(x)?F[x],由p(x)|f(x)g(x)必得
p(x)|f(x)或p(x)|g(x),则p(x)在F上不可约.
解: 用反证法.若p(x)在F上可约,则
p(x)?p1(x)p2(x),p1(x),p2(x)?F[x],?p1(x)?0,?p2(x)?0
此时有p(x)|p1(x)p2(x),于是按题设有p(x)|p1(x)或p(x)|p2(x),这显然不可能.矛盾. 5.设p(x)?F[x],?p(x)?0,如果对任意f(x)?F[x],必有p(x)|f(x或
(p(x),f(x))?1之一成立,则p(x)在F上不可约.
证明:用反证法: 若p(x)在F上可约,则
p(x)?p1(x)p2(x),p1(x),p2(x)?F[x],?p1(x)?0,?p2(x)?0
此时,对于p1(x)?F[x],既有p(x)|p1(x),且同时(p(x),p1(x))?p1(x)?1成立,这与题设条件不符,矛盾.
6.设n是任意正整数,证明:(f(x),g(x))?1?(f(x),g(x))?1 证明: (?):(f,g)?1,?u,v?F[x],?fu?gv?1 ?vg?1?uf?vngn?(1?uf)n?1?u1f
(?u1)f?(vn)gn?1?(f,gn)?1;另g1?gn,重复应用刚才的手段又有:
nn(fn,g1)?1,即(fn(x),gn(x))?1
(?) 首先证明 (fngn)?(f,g)n
事实上,设(f,g)?d,取f?f1d,g?g1d,,则(f1,g1)?1,由必要性的证明得:(f1,g1)?1?uf1?vg1?1?udf1?vdg1?d, 显然有 d|f,d|g,?d|(f,g)
nnnnnnnnnnnnnnnnn又设 d1?(fn,gn)?d1|udnf1n?vdng1?d1|dn,
所以 d1?dn即(fngn)?(f,g)n 而 (f,g)?1?(f,g)n?1 所以,当(fn(x),gn(x))?1时,必有(f,g)?1 7.利用多项式的标准分解式证明:
(1)若h(x)是首1多项式,则(f(x)h(x),g(x)h(x))?(f(x),g(x))h(x) (2)若(f(x),h(x))?1,(f(x),g(x))?d(x),则(f(x),g(x)h(x))?d(x) 证明: (1)设f(x),g(x),h(x)在F中的标准分解式分别为:
rklsr2llss,g(x)?bp11p22?pkk,h(x)?p11p22?pkk f(x)?ap1r1p2?pkrk?skl?sr2?s2l?sl?s;g(x)h(x)?bp111p222?pkkk f(x)h(x)?ap1r1?s1p2?pk其中p1,p2,?,pk是F上的不可约首1多项式.
令 ni?min{ri,li},i?1,2,?,k,则ni?si?min{ri?si,li?si},i?1,2,?,k 且 (f,g)?p11p22?pkk 从而有 (f,g)h(x)?p11所以 (fh,gh)?p11n?s1n?s1n?2s2nnnpnk?sk2 ?pknk?sknkn2?s2n2p2?pk?p1n1p2?pkh(x)?(f,g)h(x)
(2)因为(f(x),h(x))?1,所以设f(x),h(x)在F中的标准分解式分别为:
rkslmr2ssllmm,h(x)?q11q22?qtt,再设g(x)?bp11p22?pkkq11q22?qtt f(x)?ap1r1p2?pk其中p1,p2,?,pk,q1,q2,?,qt是F上的不可约首1多项式. 令: ni?min{ri,li},i?1,2,?,k 则 (f,g)?p11p22?pkk 而 g(x)h(x?)bp11p22?pkkqnnnlllm?11s1q?m22s2?qtmt?s tnnn所以,(f,gh)仍然为p11p22?pkk,所以(f(x),g(x)h(x))?d(x) 1.6重因式和重根
1.判别下列多项式有无重因式?若有,求其重数. (1)f(x)?x3?2x2?3x?4; (2) f(x)?x3?x2?x?1; (3) f(x)?x4?3x3?4x2?3x?1 (4) f(x)?x5?5x4?7x3?2x2?4x?8
解: (1) f?(x)?3x2?4,于是(f(x),f?(x))?1,所以f(x)?x3?2x2?3x?4x?3没有重因式;
(2) f?(x)?3x2?2x?1?(3x?1)(x?1)显然x?1是f(x)的因式,因此是f(x)的二重因式.
(3)f?(x)?4x3?9x2?8x?3,由于(f,f?)?x?1,所以x?1是f(x)的二重因式; (4)f?(x)?5x4?20x3?21x2?4x?4由于(f(x),f?(x))?1,所以
f(x)?x5?5x4?7x3?2x2?4x?8没有重因式;
2.确定a的值,使f(x)?x3?3x2?ax?1有重因式
2解: f?(x)?3x?6x?a,由于f(x)?f?(x)(x?1)?(2x?1)(a?3)
所以当a?3时,f(x)有3重因式x?1; 3.确定a、b的值,使x?1至少是f(x)?ax解: f?(x)?(n?1)ax?nbxnn?1n?1?bxn?1(n?1)的二重因式.
,于是有f(1)?0,f?(1)?0
所以 ?4?(n?1)a?nb?0?a??n,b?n?1
?a?b?1?0324.求f(x)?4x?20x?37x?30x?9在Q上的标准分解式. 解: f?(x)?16x?60x?74x?30?2(8x?30x?37x?15) 而(f,f?)?2x?5x?3
所以f(x)?(2x?5x?3)?(x?1)(2x?3)
5.设不可约多项式p(x)|f(x),且是f?(x)的k?1重因式,证明p(x)是f(x)的k重因式.
222223232