依题设有a0和a0?a1?a2???an都是奇数,因此f(x)不可能有偶数根. 如果奇数c?1是f(x)的根,这里c是偶数. 由于 ak(c?1)k?ak(2uk)?ak,k?1,2,?,n
所以 f(c?1)?2(anun?an?1un?1???aua) 01)1?(an?an??1??a?1其结果是一个偶数加一个奇数,不可能等于零,所以f(x)不能有整数根
8.设f(x)?anxn?an?1xn?1???a1x?a0是整系数多项式,若an,a0都是奇数,f(1),f(?1)中至少有一个是奇数,证明f(x)没有有理根.
证明: 用反证法,假设f(x)有有理根
b,那么,f(x)?(ax?b)f1(x),这里g(x)也是整系a数多项式f1(x)?bn?1xn?1?bn?2xn?2???b1x?b0.
首先假定f(1)是奇数,依题意f(0)?a0, 所以?bf1(0)??bb0是奇数,故b,b0都是奇数;
f(1)?(a?b)f1(1)是奇数,所以f1(1)也必然是奇数,同时由于a?b,b都是奇数,所以a是
偶数,于是an?abn?1是奇数导出bn?1是奇数,这说明f1(x)与f(x)具有相同的特点:
bn?1,b0都是奇数,f1(1)是奇数,但?f1(x)??f(x);
上面的推导还可以继续下去:于是得到一串次数不断降低的多项式满足
?f(x)??f1(x)??f2(x)????fk(x)??
但f(x)的次数有限,上述步骤只能进行到一次多项式fn?1(x)?a?x?b?满足:
a?,b?都是奇数,且a??b?也是奇数,而这时不可能的,所以f(x)没有有理根
同理可以证明f(?1)是奇数的情形.
9.证明奇数次实系数多项式至少有一个实数根. 证明: 由于奇数次实系数多项式在复数范围内一定有奇数个根,并且虚数根成对出现(共轭),去掉这些成对的虚数根后,至少剩下一个不能配对的根,因此这个根就只能是实数,所以奇数次实系数多项式至少有一个实数根.