三角函数
一、三角函数的基本概念和同角三角函数关系
板块一：任意角的概念与弧度制
(一)知识内容
1. 角的概念的推广
⑴角：一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.其中顶点，始边，终边称为角的
三要素.角可以是任意大小的.
⑵角按其旋转方向可分为：正角，零角，负角.
①正角：习惯上规定，按照逆时针方向旋转而成的角叫做正角； ②负角：按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角；
③零角：当射线没有旋转时，我们也把它看成一个角，叫做零角. ⑶在直角坐标系中讨论角：
①角的顶点在原点，始边在x轴的非负半轴上，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角. ②若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫轴线角.
2.终边相同的角的集合：设?表示任意角，所有与?终边相同的角，包括?本身构成一个集合，这个集合可记为S素为?.
3.弧度制和弧度制与角度制的换算
⑴角度制：把圆周360等分，其中1份所对的圆心角是1度，用度作单位来度量角的制度叫做角度制.
???????k?360?,k?Z?.集合S的每一个元素都与?的终边相同，当k?0时，对应元
<教师备案>一些特殊角的度数与弧度数的对应表：
度数 弧度 0? 015° π1230? 45? 60? π375° 5π1290? 120? 135? 150? π6 π4 π2 2π3 3π4 5π6 度数 弧度
180?210° 7π6225° 5π4240° 4π3270?300° 5π3315° 7π4330° 11π6360? π 3π2 2π page 1 of 16
⑵1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.
规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.任一已知角?的弧度数的绝对值??lr，这种以“弧度”作为单位来度量角的制度叫做弧度制.
12 （3）弧长公式：l??R；扇形面积公式：S??R2?12Rl。
（4）弧度与角度的换算：180?板块二：任意角的三角函数
?πrad，1?180??rad????57.30??57?18? π??(一）知识内容
1.三角函数定义
在直角坐标系中，设?是一个任意角，?终边上任意一点P（除了原点）的坐标为(x,y)，它与原点的距离为r(r?|x|2?|y|2?⑴比值
yrxryxxyx?y?0)，那么
yrxryxxy22叫做?的正弦，记作sin?，即sin??；
⑵比值叫做?的余弦，记作cos?，即cos??；
⑶比值叫做?的正切，记作tan?，即tan??；
⑷比值叫做?的余切，记作cot?，即cot??；
⑷比值
rxry叫做?的正割，记作sec?，即sec??rxry；
⑸比值叫做?的余割，记作csc?，即csc??.
2.三角函数的定义域、值域
函数 y?sin? 定义域 值域 [?1,1] Ry?cos? R [?1,1] page 2 of 16
y?tan? π????|???kπ,k?Z?2?? R 3.三角函数的符号 由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知： ⑴正弦值⑵余弦值⑶正切值
yrxryx对于第一、二象限为正（y?0,对于第一、四象限为正（x?0,对于第一、三象限为正（x,y，对于第三、四象限为负（y?0,r?0r?0）
，对于第二、三象限为负（x?0,r?0r?0）
y）；
）；
同号），对于第二、四象限为负（x,异号）.
可以用下图表示：
说明：若终边落在轴线上，则可用定义求出三角函数值.
4.同角三角函数的基本关系式：
平方关系：sin2x?cos2x?1，sec2x?tan2x?1，csc2x?cot2x?1 商数关系：
sinxcosx?tanx，
cosxsinx?cotx
1cotx倒数关系：secx?1cosx,cscx?1cosx,tanx?
6.诱导公式：（奇变偶不变，符号看象限）：
sin(???)＝sinα，cos(???)＝－cosα，tan(???)＝－tanα； sin(???)＝－sinα，cos(???)＝－cosα，tan(???)＝tanα； sin(??)＝－sinα，cos(??)＝cosα，tan(??)＝－tanα；
sin(2???)＝－sinα，cos(2???)＝cosα，tan(2???)＝－tanα； sin(2k???)＝sinα，cos(2k???)＝cosα，tan(2k???)＝tanα (k?Z)； sin(
4.三角函数式的化简与三角恒等式的证明是个难点，需要学生熟悉并灵活运用所学的公式与知识，一般情况下，化简的基本思路是：减少角的种数，减少三角函数的种数，适当配凑和拆分，统一切割化弦等等.
page 3 of 16
?2??)＝cosα，cos(
?2??)＝sinα； sin(
?2??)＝cosα,cos(
?2??)＝-sinα。
二、三角函数的图象与性质
板块一：任意角的概念与弧度制
（一）知识内容
⑴单位圆：
半径等于单位长的圆叫做单位圆.设单位圆的圆心与坐标原点重合，则单位圆与x轴交点分别为
A(1,0)，A?(?1,0)，而与y轴的交点分别为B(0,1)，B?(0,?1).由三角函数的定义可知，点P的坐标为
(cos?,sin?)，即P(cos?,sin?).其中cos??OM，sin??ON.
yyB(0,1)NA'(-1,0)P(cos?,sin?)A(1,0)T(1,tan?)?A(1,0)OB'(0,-1)OxMxT'
这就是说，角?的余弦和正弦分别等于角?终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标.过点
，则tan??AT(或AT?). A(1,0)作单位圆的切线，它与角?的终边或其反向延长线交与点T（或T?）⑵有向线段：
坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向.具有方向的线段叫做有向线段. 规定：与坐标轴方向一致时为正，与坐标方向相反时为负. ⑶三角函数线的定义：
设任意角?的顶点在原点O，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P(x,y)，过P作x轴的垂线，垂足为M；过点A(1,0)作单位圆的切线，它与角?的终边或其反向延长线交与点T.我们就分别称有向线段MP，OM，AT为正弦线、余弦线、正切线.
?????????????
page 4 of 16
板块一：三角函数的图象
(一) 知识内容
1.三角函数的图象
y2? -2?
2.函数y?Asin??x???
-?-2?Oy-?O?x-?/2?/2O?3?/2y=sinxx y?2?-3?/2-?xxy=cosx y=tanx ?A?0,??0,x?R?的图象的作法――五点法
2π①确定函数的最小正周期T??；
(π2??)、1(π??)、13π1(??)、(2π??)，?2?1π3π?②令?x??＝0、、π、、2π，得x??、22??1π1?于是得到五个关键点(?,0)、((??),1)、(?2???(π??),0)、(13π1(??),?1)、((2π??),0)； ?2?③描点作图，先作出函数在一个周期内的图象，然后根据函数的周期性，把函数在一个周期内的图象向左、右扩展，得到函数y?Asin??x???3.
5、正弦型函数y?Asin(?x??)的图象变换方法如下： （1）先平移后伸缩：
??得y?sin的图象 y?sinx的图象????????????（x??）??????????????????得y?sin的图象 （?x??）横坐标伸长（0???1）或缩短（?A?0,??0,x?R?的图象．
向右（??0）或向左（??0）平移?个单位长度??1）到原来的?1（纵坐标不变）??????????????????得y?Asin(?x??)的图象
??????????????得y?Asin（?x??）?k的图象。
向下（k?0）或向上（k?0）平移k个单位长度纵坐标伸长（A?1）或缩短（0?A?1）为原来的A倍（横坐标不变）（2）先伸缩后平移：
page 5 of 16