工程数学--线性代数课后题答案_第五版
第五章 相似矩阵及二次型
1? 试用施密特法把下列向量组正交化?
?111?(1)(a1, a2, a3)??124??
?139???
解 根据施密特正交化方法?
?1?b1?a1??1??
?1???
??1?b2?a2?b1??0??
?1?[b1,b1]??[b1,a2][b1,a3][b2,a3]
?1?1?b3?a3?b1?b2??2??
[b1,b1][b2,b2]3?1???
?11?1??0?11?(2)(a1, a2, a3)???
?101??110???
解 根据施密特正交化方法?
?1??0?b1?a1????
?1?1???
?1?[b1,a2]1??3?b2?a2?b1???? 2[b1,b1]3?1???
??1?[b1,a3][b2,a3]1?3?b3?a3?b1?b2????
[b1,b1][b2,b2]53?4??? 2? 下列矩阵是不是正交阵:
?1?11???23?11?(1)??1?; 22?1?1?1??2?3?
解 此矩阵的第一个行向量非单位向量, 故不是正交阵?
?1?8?4???999?814?(2)?????
999?447?????999??
解 该方阵每一个行向量均是单位向量? 且两两正交? 故为正交阵?
3? 设x为n维列向量? xTx?1? 令H?E?2xxT? 证明H是对称的正交阵? 证明 因为
HT?(E?2xxT)T?E?2(xxT)T?E?2(xxT)T
?E?2(xT)TxT?E?2xxT?
所以H是对称矩阵? 因为
HTH?HH?(E?2xxT)(E?2xxT) ?E?2xxT?2xxT?(2xxT)(2xxT) ?E?4xxT?4x(xTx)xT ?E?4xxT?4xxT ?E? 所以H是正交矩阵?
4? 设A与B都是n阶正交阵? 证明AB也是正交阵? 证明 因为A? B是n阶正交阵? 故A?1?AT? B?1?BT?
(AB)T(AB)?BTATAB?B?1A?1AB?E?
故AB也是正交阵?
5? 求下列矩阵的特征值和特征向量:
?2?12?(1)?5?33?; ??10?2???
解
2???12|A??E|?5?3??3??(??1)3?
?10?2??
故A的特征值为???1(三重)? 对于特征值???1? 由
?3?12??101?A?E??5?23?~?011??
??10?1??000?????得方程(A?E)x?0的基础解系p1?(1? 1? ?1)T? 向量p1就是对应于
特征值???1的特征值向量.
?123?(2)?213?; ?336???
解
1??23|A??E|?21??3???(??1)(??9)?
336??
故A的特征值为?1?0? ?2??1? ?3?9? 对于特征值?1?0? 由
?123??123?A??213?~?011?? ?336??000?????得方程Ax?0的基础解系p1?(?1? ?1? 1)T? 向量p1是对应于特征值?1?0的特征值向量. 对于特征值?2??1, 由
?223??223?A?E??223?~?001??
?337??000?????得方程(A?E)x?0的基础解系p2?(?1? 1? 0)T? 向量p2就是对应于特征值?2??1的特征值向量? 对于特征值?3?9? 由
????823??11?1?1A?9E??2?83?~?01???
?33?3?2???000???得方程(A?9E)x?0的基础解系p3?(1/2? 1/2? 1)T? 向量p3就是对应
于特征值?3?9的特征值向量?
?0?0(3)?0?1?001001001?0?. 0?0?? 解
??0010??10|A??E|??(??1)2(??1)2?
01??0100??故A的特征值为?1??2??1? ?3??4?1? 对于特征值?1??2??1? 由
?1?0A?E??0?1?011001101??10??0~0??0?1???0010001001?0?? 0?0??得方程(A?E)x?0的基础解系p1?(1? 0? 0? ?1)T? p2?(0? 1? ?1? 0)T? 向量p1和p2是对应于特征值?1??2??1的线性无关特征值向量? 对于特征值?3??4?1? 由
??1?0A?E??0?1?0?11001?101??10??0~0??0??1???001000?100?1?0?? 0?0??得方程(A?E)x?0的基础解系p3?(1? 0? 0? 1)T? p4?(0? 1? 1? 0)T? 向量p3和p4是对应于特征值?3??4?1的线性无关特征值向量?
6? 设A为n阶矩阵? 证明AT与A的特征值相同? 证明 因为