?22?2?(2)?25?4?? ??2?45???
解 将所给矩阵记为A? 由
2??2?2A??E?25???4?2?45????(??1)2(??10)?
得矩阵A的特征值为?1??2?1? ?3?10? 对于?1??2?1? 解方程(A?E)x?0? 即
?12?2??x1??0??24?4??x???0?? ??2?44??2??0????x3???得线性无关特征向量(?2? 1? 0)T和(2? 0? 1)T ? 将它们正交化、单位化得
p1?1(?2, 1, 0)T? p2?1(2, 4, 5)T?
535 对于?3?10, 解方程(A?10E)x?0? 即
??82?2??x1??0??2?5?4??x???0?? ??2?4?5??2??0????x3???得特征向量(?1? ?2? 2)T ? 单位化得p3?1(?1, ?2, 2)T?
3 于是有正交阵P?(p1? p2? p3)? 使P?1AP?diag(1? 1? 10)? 17?
?5??1?2?4????设矩阵A??2x?2与???4?相似?
??4?21???y????求x? y? 并
求一个正交阵P? 使P?1AP???
解 已知相似矩阵有相同的特征值? 显然??5? ???4? ??y是?的特征值? 故它们也是A的特征值? 因为???4是A的特征值? 所以
5?2?4|A?4E|??2x?4?2?9(x?4)?0?
?4?25解之得x?4?
已知相似矩阵的行列式相同? 因为
1?2?4|A|??2?4?2??100?4?215? |?|??4y??20y?
所以?20y??100? y?5?
对于??5? 解方程(A?5E)x?0? 得两个线性无关的特征向量(1? 0? ?1)T? (1? ?2? 0)T? 将它们正交化、单位化得
p1?11(1, 0, ?1)T? p2?(1, ?4, 1)T? 232 对于???4? 解方程(A?4E)x?0? 得特征向量(2? 1? 2)T? 单位化得p3?1(2, 1, 2)T?
3
???于是有正交矩阵P???????1221332140?3321212332????1
?? 使PAP??? ???? 18? 设3阶方阵A的特征值为?1?2? ?2??2? ?3?1? 对应的特
征向量依次为p1?(0? 1? 1)T? p2?(1? 1? 1)T? p3?(1? 1? 0)T? 求A. 解 令P?(p1? p2? p3)? 则P?1AP?diag(2? ?2? 1)??? A?P?P?1? 因为
?011???110?P?1??111???1?11??
?110??01?1??????1所以
?011??200???110???13?3?A?P?P??111??0?20??1?11????45?3??
?110??001??01?1???44?2??????????1 19? 设3阶对称阵A的特征值为?1?1? ?2??1? ?3?0? 对应?1、
?2的特征向量依次为p1?(1? 2? 2)T? p2?(2? 1? ?2)T? 求A?
解
?x1x2x3?设A??x2x4x5?? 则Ap1?2p1? Ap2??2p2?
??xxx?356?x?2x2?2x3?1??1?x2?2x4?2x5?2? ???① ??x3?2x5?2x6?22x?x2?2x3??2??1?2x2?x4?2x5??1? ???② ??2x3?x5?2x6?2即
再由特征值的性质? 有
x1?x4?x6??1??2??3?0? ???③
由①②③解得
x1??1?1x6? x2?1x6? x3?2?1x6?
32234
x4?1?1x6? x5?2?1x6?
3234令x6?0? 得x1??1? x2?0? x3?2? x4?1? x5?2?
3333因此
??102?1?A?012?? 3?220???
20? 设3阶对称矩阵A的特征值?1?6? ?2?3? ?3?3? 与特征值
?1?6对应的特征向量为p1?(1? 1? 1)T? 求A.
解
?x1x2x3?设A??x2x4x5??
??xxx?356? 因为?1?6对应的特征向量为p1?(1? 1? 1)T? 所以有
?1??1?A?1??6?1?? ?1??1??????x1?x2?x3?6?即?x2?x4?x5?6 ???①? ??x3?x5?x6?6 ?2??3?3是A的二重特征值, 根据实对称矩阵的性质定理知R(A?3E)?1? 利用①可推出
x3??1?x1?3x211?A?3E??x2x4?3x5?~?x2x4?3x5??
????xxx?3xxx?3?5656?3??3
因为R(A?3E)?1? 所以x2?x4?3?x5且x3?x5?x6?3? 解之得
x2?x3?x5?1? x1?x4?x6?4?
因此
?411?A??141?? ?114???
21? 设a?(a1? a2? ???? an)T ? a1?0? A?aaT?
(1)证明??0是A的n?1重特征值?
证明 设?是A的任意一个特征值? x是A的对应于?的特征向量? 则有 Ax??x?
?2x?A2x?aaTaaTx?aTaAx??aTax? 于是可得?2??aTa? 从而??0或??aTa?
设?1? ?2? ? ? ?? ?n是A的所有特征值? 因为A?aaT的主对角线性上的元素为a12? a22? ? ? ?? an2? 所以
a12?a22? ? ? ? ?an2?aTa??1??2? ? ? ? ??n?
这说明在?1? ?2? ? ? ?? ?n中有且只有一个等于aTa? 而其余n?1个全为0? 即??0是A的n?1重特征值?
(2)求A的非零特征值及n个线性无关的特征向量? 解 设?1?aTa? ?2? ? ? ? ??n?0?
因为Aa?aaTa?(aTa)a??1a? 所以p1?a是对应于?1?aTa的特征向量?
对于?2? ? ? ? ??n?0? 解方程Ax?0? 即aaTx?0? 因为a?0? 所以aTx?0? 即a1x1?a2x2? ? ? ? ?anxn?0? 其线性无关解为
p2?(?a2? a1? 0? ???? 0)T? p3?(?a3? 0? a1? ???? 0)T? ? ? ??
pn?(?an? 0? 0? ???? a1)T?
因此n个线性无关特征向量构成的矩阵为