(2)
?123?f(x)?xT?456?x?
?789???
解
?123?二次型的矩阵为A??456??
?789??? 27? 求一个正交变换将下列二次型化成标准形: (1) f?2x12?3x22?3x33?4x2x3? 解
?200?二次型的矩阵为A??032??
?023???由
2??00A??E?03??2?(2??)(5??)(1??)?
023??得A的特征值为?1?2? ?2?5? ?3?1? 当?1?2时, 解方程(A?2E)x?0? 由
?000??012?A?2E??012?~?001??
?021??000?????得特征向量(1? 0? 0)T? 取p1?(1? 0? 0)T? 当?2?5时? 解方程(A?5E)x?0? 由
??300??100?A?5E??0?22?~?01?1??
?02?2??000?????得特征向量(0? 1? 1)T? 取p2?(0, 1, 1)T?
22 当?3?1时? 解方程(A?E)x?0? 由
?100??100?A?E??022?~?011??
?022??000?????得特征向量(0? ?1? 1)T? 取p3?(0, ?1, 1)T?
22 于是有正交矩阵T?(p1? p2? p3)和正交变换x?Ty? 使
f?2y12?5y22?y32?
(2) f?x12?x22?x32?x42?2x1x2?2x1x4?2x2x3?2x3x4? 解
?1?1二次型矩阵为A??0??1?11?100?111?1?0?? 由 1?1??1??10?111???10A??E??(??1)(??3)(??1)2?
0?11??1?1011??得A的特征值为?1??1? ?2?3? ?3??4?1?
当?1??1时? 可得单位特征向量p1?(1, ?1, ?1, 1)T?
22222 当?2?3时? 可得单位特征向量p2?(1, 1, ?1, ?1)T?
222 当?3??4?1时? 可得线性无关的单位特征向量
p3?(1111T, 0, , 0)T? p4?(0, , 0, )? 2222 于是有正交矩阵T?( p1? p2? p3? p4)和正交变换x?Ty? 使
f??y12?3y22?y32?y42?
28? 求一个正交变换把二次曲面的方程
3x2?5y2?5z2?4xy?4xz?10yz?1
化成标准方程? 解
?32?2?二次型的矩阵为A??25?5??
??2?55???
3??2?2由|A??E|?25???5???(??2)(??11)?
?2?55??得A的特征值
为?1?2? ?2?11? ?3?0? ?
对于?1?2? 解方程(A?2E)x?0? 得特征向量(4? ?1? 1)T? 单位化得p1?(4, ?1, 1)?
323232 对于?2?11? 解方程(A?11E)x?0? 得特征向量(1? 2? ?2)T? 单位化得p2?(1, 2, ?2)?
333 对于?3?0? 解方程Ax?0? 得特征向量(0? 1? 1)T? 单位化得
p3?(0, 11, )? 22 于是有正交矩阵P?(p1? p2? p3)? 使P?1AP?diag(2? 11? 0)? 从而有正交变换
1?4?332?x??2?y????1?z??323??12???3?32?0???u?1??? ?v2??w?1????2?使原二次方程变为标准方程2u2?11v2?1?
29? 明? 二次型f?xTAx在||x||?1时的最大值为矩阵A的最大特征值.
证明 A为实对称矩阵? 则有一正交矩阵T? 使得
TAT?1?diag(?1? ?2? ? ? ?? ?n)??
成立? 其中?1? ?2? ? ? ?? ?n为A的特征值? 不妨设?1最大? 作正交变换y?Tx? 即x?TTy? 注意到T?1?TT? 有 f?xTAx?yTTATTy?yT?y??1y12??2y22? ? ? ? ??nyn2? 因为y?Tx正交变换? 所以当||x||?1时? 有
||y||?||x||?1? 即y12?y22? ? ? ? ?yn2?1?
因此
f ??1y12??2y22? ? ? ? ??nyn2??1?
又当y1?1? y2?y3?? ? ??yn?0时f ??1? 所以f max ??1?
30? 用配方法化下列二次形成规范形? 并写出所用变换的矩阵?
(1) f(x1? x2? x3)?x12?3x22?5x32?2x1x2?4x1x3? 解 f(x1? x2? x3)?x12?3x22?5x32?2x1x2?4x1x3 ?(x1?x2?2x3)2?4x2x3?2x22?x32 ?(x1?x2?2x3)2?2x22?(2x2?x3)2?
?y1?x1?x2?2x3?? ?y2?2x2??y3?2x2?x3?x?y?5y?2y123?12?1y2即?x2?? 2??x3??2y2?y3?令
二次型化为规范形
f?y12?y22?y32?
所用的变换矩阵为
?1?52???2??1C??00??
2???0?21???
(2) f(x1? x2? x3)?x12?2x32?2x1x3?2x2x3? 解 f(x1? x2? x3)?x12?2x32?2x1x3?2x2x3 ?(x1?x3)2?x32?2x2x3?
?(x1?x3)2?x22?(x2?x3)2? 令
y?x?xx?y1?y2?y3???113?1? 即?x2?y2? ?y2?x2???y3?x2?x3?x3??y2?y3二次型化为规范形
f?y12?y22?y32?
所用的变换矩阵为
?11?1?C??010?? ?0?11??? (3) f(x1? x2? x3)?2x12?x22?4x32?2x1x2?2x2x3? 解 f(x1? x2? x3)?2x12?x22?4x32?2x1x2?2x2x3? ?2(x1?1x2)2?1x22?4x32?2x2x3
22