数学（理科）参考答案
一、选择题
1-5:CABAD 6-10:ADCCD 11、12：BA
二、填空题
13． ??82 14．0??? 15． 16． ①③④
31122三、解答题
17．解：（1）因为cos2A?2sin即2cosA?cosA?1?0． 解得：cosA?2B?C?1，所以cos2A?cos(B?C)?0， 21或cosA??1； 2又因为A?(0,?)，所以A?由余弦定理得：BC??3；
AB2?AC2?2AB?ACcosA?3．
1(3x?y?2z)； 2S?ABC?S?PBC?S?PAC?S?PAB?（2）设点P到AB边的距离为z，则有：
注意到：AB?AC?BC，所以?ABC是直角三角形； 从而S?ABC?22213； BC?CA?22所以
113(3x?y?2z)?，即z?(3?3x?y)；
222所以d?x?y?z?1[(2?3)x?y?3]； 2??x?0?又由于x,y满足条件：?y?0；（线性规划问题）
?1?(3?3x?y)?0?2所以d的取值范围是[3,3]． 218．解：（1）众数：8．6；中位数：8．75．
A， i（2）设A1表示所取3人中有个人是：“极幸福”，至多有1人是“极幸福”记为事件
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3C1211则恰有0人是“极幸福”的概率为P(A0)?3?；
C162812C4C1233则恰有1人是“极幸福”的概率为P(A1)?． ?3C1670∴P(A)?P(A0)?P(A1)?1133121??． 2870140（3）??B(3,)，?的可能取值为0,1,2,3，
1433?k， 43327∴P(??0)?()?，
464271132P(??1)?C3()?，
4464139P(??2)?C32()2?，
446411P(??3)?()3?．
464∵P(??k)?C3()()kk14所以?的分布列为：
272791?1??2??3??0.75． 646464641另解：E??3??0.75．
419．解：（1）∵平面PAB?平面ABCD， 平面PAB?平面ABCD?AB，AB?PA， ∴PA?平面ABCD． E??0?又∵AB?AD，故可建立空间直角坐标系o?xyz如图所示， 不妨设BC?4，AP??(??0)，
则有D(0,2,0)，E(2,1,0)，C(2,4,0)，P(0,0,?)，
????????????∴AC?(2,4,0)，AP?(0,0,?)，DE?(2,?1,0)， ????????????????∴DE?AC?4?4?0?0，DE?AP?0，
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∴DE?AC，DE?AP， ∴DE?平面PAC， 又DE?平面PED，
∴平面PED?平面PAC．
????????（2）由（1），平面PAC的一个法向量是DE?(2,?1,0)，PE?(2,1,??)，
设直线PE与平面PAC所成的角为?，
????????∴sin??|cosPE,DE|?|∵??0，
∴??2，即P(0,0,2)．
4?155??2|?5，解得???2， 5?????????设平面PCD的一个法向量为n?(x,y,z)，DC?(2,2,0)，DP?(0,?2,2)， ??????????由n?DC，n?DP，
?2x?2y?0?∴?，不妨令x?1，则n?(1,?1,?1)， ??2y?2z?0?2?115????∴cosn,DE?， ?535显然二面角A?PC?D的平面角是锐角， ∴二面角A?PC?D的余弦值为15． 5x2?y2?1的顶点为F20．解：（1）∵双曲线C2:1(?2,0)，F2(2,0)， 2∴椭圆C1两焦点分别为F1(?2,0)，F2(2,0)．
x2y2设椭圆C1方程为2?2?1(a?b?0)，
ab∵椭圆C1过点A(?2,1)，∴2a?|AF1|?|AF2|?4，得a?2．
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∴b2?a2?(2)2?2．
x2y2??1． ∴椭圆C1的方程为42（2）设点Q(x,y)，点P(x1,y1)，
由A(?2,1)及椭圆C1关于原点对称可得B(2,?1)，
????????，?AQ?(x?2,y?1)AP?(x1?2,y1?1)， ????????BQ?(x?2,y?1)，BP?(x1?2,y1?1)．
????????由AQ?AP?0，得(x?2)(x1?2)?(y?1)(y1?1)?0，
即(x?2)(x1?2)??(y?1)(y1?1)． ①
????????同理，由BQ?BP?0，得(x?2)(x1?2)??(y?1)(y1?1)． ②
①×②得(x2?2)(x12?2)?(y2?1)(y12?1)． ③
x12y12??1，得x12?4?2y12， 由于点P在椭圆C1上，则422代入③式得?2(y1?1)(x2?2)?(y2?1)(y12?1)． 2当y1?1?0时，有2x?y?5，
2当y1?1?0，则点P(?2,?1)或P(2,1)，
22此时点Q对应的坐标分别为(2,1)或(?2,?1)，其坐标也满足方程2x2?y2?5，
?点Q的轨迹方程为2x2?y2?5．
（3）点Q(x,y)到直线AB:x?2y?0的距离为|x?2y|． 3?ABQ的面积为S?1|x?2y| (2?2)2?(?1?1)2?23?|x?2y|?x2?2y2?22xy．
yyy22而22xy?2?(2x)?(时等号成立）， )?4x?（当且仅当2x?222
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y2552． ?S?x?2y?22xy?x?2y?4x??5x2?y2?22222222当且仅当2x?y时，等号成立． 2y???222x?,,?x??,??x?由?2解得?2或?2 ?2x2?y2?5,?y?2,?y??2.?????ABQ的面积最大值为
5222，此时，点Q的坐标为(,2)或(?,?2)． 222?112x?1?x?0?x??2， 21．解：（1）f(x)?ln(1?x)?，定义域?22x?2??x?2?0f'(x)?14x?2??， x?2(x?2)2(x?2)2?(?2,2)递减，(2,??)递增．
故f(x)最小值?f(2)?ln2?1，没有极大值． （2）f(x)?ln(1?ax)?12x，x?(?,??)，
ax?2a4ax2?4(1?a) f'(x)???1?ax(x?2)2(1?ax)(x?2)22a(1?a)111 ?a?(,1)，?a(1?a)?(0,)，????24aa由ax?4(1?a)?0，?x??22a(1?a) af(x1)?f(x2)?ln[(1?2a(1?a)]?ln[1?2a(1?a)]?f(x1)?f(x2)?ln[(1?2a)2]?1241?a?41?a?21?a?2a?21?a?2a4?4a2?ln[(1?2a)2]??2， 2a?12a?1设t?2a?1，当a?(,1)时，t?(0,1)，
2?设f(x1)?f(x2)?g(t)?2lnt??2
t
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