第一、二章 三角形的初步知识和特殊三角形
1.三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形.
2.三角形的角平分线、中线、高线都是线段；三条角平分线和中线分别交于三角形内部一点；锐角三角形的三条高线交于三角形内部一点，直角三角形的三条高线交于直角顶点，钝角三角形的三条高线不相交，但所在直线交于三角形外部一点.
练习：画△ABC中AB边上的高，下列画法中正确的是（ ）
A． B． C． D．
A3.三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分.
1 如图：AD是三角形ABC的中线，则S△ABD＝S△ACD＝S△ABC
2 练习：如图，D，E分别是△ABC边AB，BC上的点， AD＝2BD，BE＝CE，若S△ABC＝30，则四边形BEFD的 面积为_________．
BDC4.★★★三角形的三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边.
两边之差＜第三边＜两边之和
练习：长度分别为2，7，x的三条线段能组成一个三角形，x的值可以是（ ） A．4
B．5
C．6
D．9
5.★三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
练习：小明把一副含45°，30°的直角三角板如图摆放，其中
∠C＝∠F＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，则∠α＋∠β等于________．
6.★★★三角形全等的判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS，看清楚所用的三个条件，
绝对不能用SSA来判定. 直角三角形还可以用斜边直角边相等来判定，即HL. 练习：对于下列各组条件，不能判定△ABC≌△A′B′C′的一组是（ ） A．∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，AB＝A′B′
B．∠A＝∠A′，AB＝A′B′，AC＝A′C′
C．∠A＝∠A′，AB＝A′B′，BC＝B′C′ D．AB＝A′B′，AC＝A′C′，BC＝B′C′
注意：在直角三角形或直角较多的图形中，往往要用同角或等角的余角相等来证明某两个角相等
练习：如图，写出图中相等的锐角____________________________________________________． 注意：像这种△ABC≌△DEF，两个三角形已经用全等符号（≌）表示， 说明对应点已经写在了对应位置上，我们在找对应边和对应角时 可以根据它们的字母顺序来找，如边AC是△ABC的第1和3个 字母，那么它的对应边应该是△DEF的第1和3个字母，即DF. 这种方法有利于在一些复杂图形中找对应边和角.
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7.★★★垂直平分线（中垂线）的性质和角平分线的性质.
①垂直平分线（中垂线）的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等. 几何语言：
∵AD⊥BC，BD＝CD（注意：两个条件才能表示AD是BC的中垂线）
∴AB＝AC（注意：结论不要跳步和张冠李戴，关键是理解哪两条线段是点到点的距离） ②角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等. 几何语言：
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC（注意：三个条件，不要漏掉后面两个垂直，
那是表示点到两边的距离）
∴DE＝DF（注意：结论不要跳步和张冠李戴，关键是理解哪两条线段是点到两边的距离） ③记忆方法：垂直平分线是点到点的距离相等. 角平分线是点到线的距离相等.
④应用：如图1，找一个点使得它到A、B、C三点距离相等，作线段AB、BC、AC中任意两条的中垂
线，它们的交点即为所要作的点. （只有一个点满足条件）
如图2，找一个点使得它到l1、l2、l3三条线的距离相等，作∠BAC、∠BCA、∠ABC中任意两
个角的角平分线，它们的交点（一个）即为所要作的点. 还可以作三个外角的角平分线，交点有三个. 所以满足条件的点总共有4个.
ADOECP图1 图2 图3 图4
B练习：如图3，△ABC中，∠C＝90°，AB的中垂线DE交AB于E，交BC于D，若AB＝10，AC＝6，
则△ACD的周长为_________．
如图4，∠AOC＝∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，若OD＝8，OP
＝10，则PE的长为__________． 8.在同一个三角形中，等边对等角. 在同一个三角形中，等角对等边. （注意条件）
9.等腰三角形三线合一的三线是指：底边上的中线、底边上的高线、顶角的平分线. （注意不能笼统的说中线、高线、角平分线三线合一，一定要加上它们的条件）
10.在描述某个轴对称图形的对称轴对称轴时，注意对称轴是直线，如：等腰三角形的对称轴是底边上的中线所在直线或底边上的高线所在直线或顶角的平分线所在直线. 11.★★★注意需要分类讨论的几种情况.
①已知等腰三角形一个角的度数，求另外两个角时，要注意讨论已知角是顶角还是底角，底角的度数一定
小于90度.
练习：等腰三角形的一个角为40°，则它的另外两个角的度数为_______________________________． ②已知等腰三角形两条边的长度，求周长时，要注意讨论哪一条边作为腰，哪一条边作为底，同时注意所
讨论的情况能否组成三角形.
练习：等腰三角形的两条边的长度为3和5.则周长等于____________________．
等腰三角形的两条边的长度为4和8.则周长等于____________________．
③已知直角三角形的两条边的长度，求斜边、斜边上中线、第三边、第三边上的中线时，要注意讨论已知的两边都是直角边和其中一条边是斜边这两种情况，同时一定要弄清楚求的是什么.
练习：直角三角形的两条边的长度为6和8，则第三边的长为________，斜边上的中线长为________． ④已知等腰三角形一腰上的高和底边夹角的度数，求顶角或底角度数时，画图要注意分锐角和钝角两种情
况讨论.
练习：等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则其顶角的度数为_______________．
2
⑤如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行或垂直，则这两个角的关系是相等或互补． 练习：满足上述条件的其中一个角是110°，则另一个角的度数为_____________ .
⑥已知两个定点和一个动点构成等腰三角形时，要讨论三条边两两相等，共3种情况. （注意并不是指3
个答案，有时一种情况可能会有两个答案）
如图：已知定点A、B，动点P在直线l上，若△PAB为等腰三角形，
则这样的点P有几个？ B
我们可以作两个圆和一条中垂线（以A为圆心，AB长为半径作圆； lPPP1P234A以B为圆心，AB长为半径作圆；作AB的中垂线），看它们与直线l
有几个交点. 如图可知，共四种情况.
⑦已知两个定点和一个动点构成直角三角形时，要讨论三个角分别是直角3种情况. B如图：已知定点A、B，动点P在直线l上，若△PAB为直角三
角形，则这样的点P有几个？ 请在图中作出点P．
lA
12.★★★直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
★★在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半.
两条直角边的乘积 ★★直角三角形斜边上的高线＝. （可用等面积法证明）
斜边 练习：已知直角三角形的两条直角边的长为5和12，则斜边上的高等于________． 13.★★★勾股定理：两条直角边的平方和等于斜边的平方. ★勾股定理的逆定理：如果一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形. （注意使用该定理证明一个三角形是直角三角形时的书写格式）
练习：已知△ABC是直角三角形，∠C＝90°，a＝3，c＝4，则b＝______．
已知一个三角形的三边长分别是5，12，13，判断该三角形是否是直角三角形（写出过程）．
14.★★记住一些规律性的结论（注意结论成立的条件，绝不能乱套用结论）.
1 如图①，BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，则∠BOC＝90°＋∠A
2 1 BP和CP分别是∠ABC和∠ACB的外角的平分线，则∠BPC＝90°－∠A
2 1 如图②，BE是∠ABC的平分线，CE是∠ACB的外角的平分线，则∠E＝∠A
2 1 如图③，AB＝AC，AD＝AE，则∠CDE＝∠BAD
2 1 如图④，BA＝BE，CA＝CD，则∠DAE＝(180°－∠BAC)
2
① ②
3
③ ④
15.常用辅助线的添法.
①已知角平分线，可尝试作角平分线上点到角两边的垂线段.
②已知垂直平分线，可尝试连结垂直平分线上的点与线段两个端点. ③已知中线，可尝试倍长中线来构造全等三角形.
例如：如图，AD是△ABC的中线，可延长AD至E使得ED＝AD，
连结BE，则△ACD≌△EBD.
练习：已知三角形的两边长为4和6，则第三边上的中线长的取值范围是____________．
④当已知或求证中涉及到线段a、b、c有下列情况时：a＋b＝c，如直接证不出来，可采用截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段；补短法：延长较短线段和较长线段相等，这两种方法放在一起叫截长补短法. 通过线段的截长补短，构造全等把分散的条件集中起来. ⑤★★围绕等腰直角三角形，作如图的基本图形，
记住该图形的一些结论：
如△ABD≌△CAE，BD＋CE＝DE
在证明∠ABD＝∠CAE或∠BAD＝∠ACE时，
注意利用同角的余角相等来证.
16.★★★作图，请翻阅课本36页至38页.
17.★★★把一个命题改写成“如果??那么??”的形式或写出它的逆命题. 例如：命题：等腰三角形的两个底角相等.
逆命题：有两个角相等的三角形是等腰三角形. （逆命题中千万不能写“两个底角”）
命题：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
逆命题：一边上的中线等于这边一半的三角形是直角三角形. （逆命题中千万不能写“斜边上”）
命题：内错角相等，两直线平行.
改写成“如果??那么??”的形式：如果两条直线被第三条直线所截构成的内错角相等，那么这两条直线平行. （一般情况下，“如果”后面的主语和“那么”后面的主语一致，“那么”后面往往紧跟着“这”这个字！）
18.求两条线段和或差的最值.
①如图，点P为直线l上一动点，作出AP＋BP的值最小时点P的位置. 作点A关于直线l的对称点A1，再连结A1B，A1B与直线l的交点就是使AP＋BP的值最小时的点P，此时AP＋BP的最小值就是A1B的长度. 要求A1B的长度可构造如图的直角三角形求解.
②如图，点P为直线l上一动点，作出|AP－BP|的值最大时点P的位置.
连结BA并延长，与直线l所交的点就是使|AP－BP|的值最大时的点P，此时该最大值就是AB的长度.
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③如图1，已知直角△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝2，BC＝1，当AC在滑动时，求点B到点O的最大值. 1 如图2，取AC的中点P，连结BP、OP、BO，BP＝BC2＋PC2＝2，OP＝AC＝1，由三角形三边关
2 系可知，BP＋OP＞BO，即BO＜2＋1.
如图3，当BP和OP与BO重合时，BO＝BP＋OP＝2＋1，此时BO的长度最大，故最大值为2＋1.
图2
图1 图3
④如图，在锐角△ABC中，AB＝6，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于 点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM＋MN的最小值是_________． 19．方程思想的运用．
基本思路：构造直角三角形，设未知数，用未知数表示该直角三角形的边，根据勾股定理列方程．
①如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AC＝6，AB＝10，求CD的长． C D
AB
②如图，在△ABC中，AC＝17，BC＝10，D为AB上一点，CD＝CB，AD＝9，求AB的长．
CADB
第三章 一元一次不等式
1.★★★不等式的基本性质：
①不等式两边都加上（或减去）同一个数或式，不等号的方向不变． ②不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．
③不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．（注意什么时候要改变不等号的方向） 练习：若a＞b，则下列各式中一定成立的是（ ） A． ma＞mb B． c2a＞c2b C． 1－a＞1－b D． (1＋c2)a＞(1＋c2)b 2. ★★★会把用文字描述的不等关系用不等式表示.（注意看清题目，正确使用不等号！）
3.在数轴上表示不等式的解时，取到等号的用实心圆，取不到等号的用空心圆.学会在数轴上找不等式组的解.
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