海淀区 数 学（理）
答案及评分参考 2011．4
选择题 （共40分）
一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分） 题号 答案 1 B 2 C 3 A 4 C 5 D 6 B 7 B 8 D 非选择题 （共110分）
二、填空题（本大题共6小题,每小题5分. 共30分.有两空的题目，第一空3分，第二空2分）
9.1?2i 10. s1>s2>s3 11. 70?； 3 12.
1 13. ① ③ 14. (2,4); 3 2三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15.（共13分） 解：（I）因为tanB?11tanB?tanC，tanC?,tan(B?C)?, ???????1分
1?tanBtanC2311?23?1 . ???????3 代入得到，tan(B?C)?111??23分
因为A?180??B?C , ???????4分 所
以
?tA?. ???????5分
?B（II）因为0??A?180?，由（I）结论可得：A?135? . ???????7分 因为tanB?11?tanC??0，所以0??C?B?90? . ????8分 23
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- 1 - 所以sinB?分 由分 所
105. ????9,sinC?105ac?得a?5， ???????11sinAsinC以
?ABC的面积为：
11acsinB?. ??????13分 22
16. （共14分）
解：(Ⅰ)证明：∵AD//EF,EF//BC， ∴AD//BC.
又∵BC?2AD,G是BC的中点， ∴AD//BG，
GB ∴四边形ADGB是平行四边形，
∴ AB//DG. ?????2分 ∵AB?平面DEG，DG?平面DEG，
∴AB//平面DEG. ???????4分 (Ⅱ) 解法1
证明：∵EF?平面AEB，AE?平面AEB，
∴EF?AE，
CADEHF又AE?EB,EB?EF?E，EB,EF?平面BCFE，
∴AE?平面BCFE. ?????????5分
过D作DH//AE交EF于H，则DH?平面BCFE.
∵EG?平面BCFE， ∴DH?EG. ?????????6分
∵AD//EF,DH//AE，∴四边形AEHD平行四边形， ∴EH?AD?2，
∴EH?BG?2，又EH//BG,EH?BE，
∴四边形BGHE为正方形，
∴BH?EG， ?????????7分
又BH?DH?H,BH?平面BHD，DH?平面BHD,
∴EG⊥平面BHD. ?????????8分 ∵BD?平面BHD,
∴BD?EG. ?????????9分
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- 2 - 解法2
∵EF?平面AEB，AE?平面AEB，BE?平面AEB，zAD∴EF?AE，EF?BE，
又AE?EB,
∴EB,EF,EA两两垂直. ????????5分
以点E为坐标原点，
EB,EF,EA分别为x,y,z轴建立如图的E空间直角坐标系.
x由已知得，A（0，0，2），B（2，0，0）， BGC（2，4，0），F（0，3，0），D（0，2，2）， G（2，2，0）. ??????????6分
∴???EG??(2,2,0)，???BD??(?2,2,2)，???7分 ∴???BD?????EG???2?2?2?2?0, ???8分
∴BD?EG. ??????????9分
(Ⅲ)由已知得EB?????(2,0,0)是平面EFDA的法向量. ??????????10分
设平面DCF的法向量为n?(x,y,z)，∵???FD??(0,?1,2),???FC??(2,1,0)，
∴????????FD??????n??0，即??y?2z?0，令z?1,得n?(?1,2,1). ??????????12分 n?0??FC??2x?y?0设二面角C?DF?E的大小为?，
则cos??cos?n,???EB????2626??6， ??????????13分 ∴二面角C?DF?E的余弦值为?66. ??????????14分
17. （共13分）
解：(Ⅰ)设随机选取一件产品，能够通过检测的事件为A ??????????1分
事件A等于事件 “选取一等品都通过检测或者是选取二等品通过检测” ?????2分
p(A)?610?410?23?1315 ??????????4分
(Ⅱ) 由题可知X可能取值为0,1,2,3.
P(X?0)?C30214C61C4C63C3?,P(X?1)?C3?,
10301010状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料，更多资料请到状元源下载。
- 3 -
FyC1203C4C61C4C1P(X?2)?3?,P(X?3)?36?. ??????8
C102C106分
0 1 2 3 ?????9分
(Ⅲ)设随机选取3件产品都不能
X P 1 303 101 21 6通过检测的事件为B ?????10分
事件B等于事件“随机选取3件产品都是二等品且都不能通过检测”
所以，P(B)?分
18. （共13分）
解：（Ⅰ）f(x)的定义域为(0,??)， ?????????1分 当a?1时，f(x)?x?lnx，f?(x)?1?1131?()?. ?????133038101x?1? ， ?????????2分 xx
?????????3分
所以f(x)在x?1处取得极小值1. ????
x f?(x) f(x) (0,1) — 1 0 极小 (1,??) + ?????4分 （Ⅱ）h(x)?x?1?a?alnx， x1?aax2?ax?(1?a)(x?1)[x?(1?a)]?????????6分 h?(x)?1?2???xxx2x2
①当a?1?0时，即a??1时，在(0,1?a)上h?(x)?0，在(1?a,??)上h?(x)?0， 所以h(x)在(0,1?a)上单调递减，在(1?a,??)上单调递增； ?????????7分 ②当1?a?0，即a??1时，在(0,??)上h?(x)?0， 所
以
，
函
数
h(x)在
(0,??)上单调递
增. ?????????8分 （III）在?1,e?上存在一点x0，使得f(x0)?g(x0)成立，即
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在?1,e?上存在一点x0，使得h(x0)?0，即
1?a?alnx在?1,e?上的最小值小于零. ?????????9分 x由（Ⅱ）可知 函数h(x)?x?①即1?a?e，即a?e?1时， h(x)在?1,e?上单调递减，
1?ae2?1所以h(x)的最小值为h(e)，由h(e)?e?， ?a?0可得a?ee?1e2?1e2?1因为； ?????????10分 ?e?1，所以a?e?1e?1②当1?a?1，即a?0时， h(x)在?1,e?上单调递增，
所以h(x)最小值为h(1)，由h(1)?1?1?a?0可得a??2； ?????????11分 ③当1?1?a?e，即0?a?e?1时， 可得h(x)最小值为h(1?a)， 因为0?ln(1?a)?1，所以，0?aln(1?a)?a 故h(1?a)?2?a?aln(1?a)?2
此时，h(1?a)?0不成立. ?????????12分
e2?1综上讨论可得所求a的范围是：a?或a??2. ?????????13分
e?1
19. （共14分）
a2?b21?，所以3a2?4b2 ① ?????1分 解：（Ⅰ）由已知可得e?2a42 又点M(1,)在椭圆C上，所以
223219??1 ② ?????2分 a24b2 由①②解之，得a?4,b?3.
x2y2??1. ?????5分 故椭圆C的方程为43 (Ⅱ) 当k?0时，P(0,2m)在椭圆C上，解得m??3，所以|OP|?3. ??6分 2
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