【答案】
试题演练
类型一 一次函数与反比例函数的综合应用
k
1.解：(1)材料锻造时，设温度与时间的关系为y＝(k≠0)，
xk
由题意得600＝，
8解得k＝4800， ∴y＝
4800
. x
4800
当y＝800时，＝800，
x解得x＝6，
∴点B的坐标为(6，800)，
∴材料锻造时，y与x的函数关系式为y＝
4800
(x>6)． x
材料煅烧时，设y＝ax＋32(a≠0)，把B(6，800)代入，得： 800＝6a＋32， 解得a＝128，
∴材料煅烧时，y与x的函数关系式为y＝128x＋32(0 ∴综上所述，材料煅烧时y与x的函数关系式为y＝128x＋32(0＜x≤6)； 材料锻造时y与x的函数关系式为y＝(2)把y＝480代入y＝ 4800 (x>6)； x 4800 ，得x＝10， x 故从开始加热到停止锻造操作，共经历了10分钟， ∴锻造的操作时间为：10－6＝4(分钟)． 答：锻造的操作时间为4分钟． 2. (1)【思路分析】当1≤x≤5时，y与x成反比例；当x>5时，该企业每月的利润比前一个月增加20万元，从而可分别求出函数解析式； k 解：①当1≤x≤5时，设y＝(k≠0)， x把(1，200)代入，得k＝200， 200即y＝； x 200 ②当x＝5时，y＝＝40， 5 所以当x>5时，y＝40＋20(x－5)＝20x－60； (2)【思路分析】2013年1月的利润为200万元，把200代入函数解析式即可求解； 解：当y＝200时，20x－60＝200， ∴x＝13，x－5＝13－5＝8， 所以治污改造工程完工后经过8个月，该企业月利润才能达到2013年1月的水平； (3)【思路分析】当月利润少于100万元时为该企业资金紧张期，根据两个函数解析式分别求出月份即可求解． 解：对于y＝ 200 ，当y＝100时，x＝2， x 由反比例函数的性质知，当1≤x≤5时，y随x的增大而减小，故x＝3，4，5时，y<100. 对于y＝20x－60，当y＝100时，x＝8， 由一次函数的性质知，当5 类型二 二次函数图象的实际应用 1.解：(1)如解图，以AB为x轴，以AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，则抛物线的顶点为(0，4)，抛物线与x轴的交点坐标为A(－6，0)，B(6，0)，对称轴为y轴． 第1题解图 设抛物线的解析式为y＝ax2＋4(a≠0)，将点B(6，0)代入得 136a＋4＝0，解得a＝－， 91 ∴抛物线解析式为y＝－x2＋4； 9 1 (2)①当水位下降2米，即当y＝－2时，得－x2＋4＝－2， 9解得x＝±36， ∴此时水面宽度为66米． 1 ②当x＝3时，y＝－×32＋4＝3， 9 ∴当水位下降2米，x＝3时，桥下恰好能通过高3＋2＝5米的船． ∵这条货船高4米， ∴这条船可以安全通行． 2. 解：(1)∵OC＝4，CD＝3， ∴顶点D坐标为(4，3)， 设y＝a(x－4)2＋3(a≠0)， 55 把A(0，)代入得＝a(0－4)2＋3， 331 ∴a＝－， 12 1∴y＝－(x－4)2＋3， 12 125 即y＝－x2＋x＋； 1233 125 (2)令y＝0，得－x2＋x＋＝0， 1233∴x1＝10，x2＝－2(舍去)． 故该运动员的成绩为10 m. ∵10 m>9.8 m， ∴该运动员能够顺利晋级下一轮比赛。 3. 解：(1)由表可知当t＝0.4秒时，乒乓球能达到最大高度； (2)以A点为坐标原点，以桌面中线为x轴，乒乓球水平运动方向为正方向建立平面直角坐标系，在平面直角坐标系中分别描出点(0，0.25)，(0.4，0.378)，(0.5，0.4)，(1，0.45)，(1.5，0.4)，(1.6，0.378)，(2，0.25)，如解图： 第3题解图 通过观察发现，这些散点近似地分布在一条抛物线上，因此可以用二次函数模拟．由解图可设该函数的解析式为y＝a1(x－1)2＋0.45(a1≠0)， 将(0，0.25)代入解析式得a1＝－0.2，即y＝－0.2(x－1)2 ＋0.45，令y＝0得x1＝2.5，x2＝－0.5(不合题意，应舍去)． 答：乒乓球落在桌面时，与端点A的水平距离是2.5米． (3)①由(2)可知，乒乓球的落点为(2.5，0)，将(2.5，0)代入解析式y＝a(x－3)2＋k得ka ＝－； 4 ②根据题意得扣球路线为y＝ x. 10 a 由①知乒乓球在桌面上弹起后，y与x满足y＝a(x－3)2－. 4 ∵弹起后，恰好有唯一的击球点，可以将球沿直线扣杀到点A，则关于x的一元二次xa 方程＝a(x－3)2－即20ax2－(120a＋2)x＋175a＝0有两个相等的实数根， 104 ∴(120a＋2)2－4×20a×175a＝0， －6＋35－6－35解得a1＝，a2＝， 1010当a1＝当a2＝ －6＋3535 时，x＝－，不合题意，应舍去， 102－6－3535 时，x＝. 102 －6－35 . 10 综上所述，a＝ 类型三 二次函数的实际应用 1. 解：(1)由题意可知：A(0，20)，B(30，0)．设直线AB的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，2 将A(0，20)，B(30，0)代入可得k＝－，b＝20， 3 2 ∴直线AB的解析式为y＝－x＋20. 3 2 设点P的横坐标为x，则点P为(x，－x＋20)， 322 ∴PK＝100－x，HP＝80－(－x＋20)＝x＋60， 332 则矩形PKDH的面积为S＝(100－x)(x＋60)(0≤x≤30)； 32 (2)由(1)知S＝(100－x)(x＋60)(0≤x≤30)， 3220 化简，得S＝－x2＋x＋6000(0≤x≤30)， 33 2 由二次函数性质易得，∵a＝－，对称轴为x＝5，∴当0≤x≤30时，S有最大值， 3且当x＝5，S有最大值，其最大值为S＝18050 . 3 2. 解：(1)由－300x＋1200＝300，得x＝3. 当x＝3时，由表可知B品牌每周的销售量为500只． (2)当A品牌每只的利润低于3元时，A品牌的售价每增加1元，B品牌的销售量可增加120只； 当A品牌每只的利润不少于3元且不超过4元时，A品牌的售价对B品牌的销售量没 有影响． (3)设每周总利润为y元，则当0 y＝x(－300x＋1200)＋2×500 ＝－300x2＋1200x＋1000 ＝－300(x－2)2＋2200， ∵－300<0，当x>2时，y随x的增大而减小， ∴当x＝3时，y最大＝1900. 综上所述，当x＝2.4时，y最大＝2008. 答：A品牌灯管每只利润为2.4元时，可获得最大总利润，最大总利润为2008元。 3. 解：(1)∵甲经销商库存有1200套A品牌服装，每套售价500元，转让x套给乙， ∴Q1＝500×(1200－x)＝－500x＋600000(100≤x≤1200)； (2)∵转让价格y(元/套)与转让数量x(套)之间的函数关系式为y＝－360(100≤x≤1200)，B品牌服装每套进价300元， 1 x·（－x＋360） 10 ∴转让后可购进B品牌服装共套， 300 1 x·（－x＋360） 101 ∴Q2＝×600＝－x2＋720x(100≤x≤1200)； 30051 (3)∵由(1)、(2)知，Q1＝－500x＋600000，Q2＝－x2＋720x， 5 11 ∴W＝Q1＋Q2－400×1200＝－500x＋600000－x2＋720x－480000＝－(x－550)2＋ 55180500， ∴当x＝550时，W有最大值，最大值为180500元． 1 x＋10 类型四 一次、反比例和二次函数的综合应用 ??20a＋b＝40 1. 解：(1)分两种情况：当20≤x≤40时，设y＝ax＋b(a≠0)，根据题意，得?， ??40a＋b＝60??a＝1 解得?，故y＝x＋20. ?b＝20?