第1章 数与式
【精学】
考点一、分式 概念与性质 1、分式的概念
一般地，用A、B表示两个整式，A÷B就可以表示成
AA的形式，如果B中含有字母，式子就叫做分BB式。其中，A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。分式和整式通称为有理式。
（1）分式无意义：B=0时，分式无意义； B≠0时，分式有意义。 （2）分式的值为0：A=0，B≠0时，分式的值等于0。
（3）分式的约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去叫做分式的约分。方法是把分子、分母因式分解，再约去公因式。
（4）最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。分式运算的最终结果若是分式，一定要化为最简分式。
（5）通分：把几个异分母的分式分别化成与原来分式相等的同分母分式的过程，叫做分式的通分。 （6）最简公分母：各分式的分母所有因式的最高次幂的积。 2、分式的性质
（1）分式的基本性质：
分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。
AA?M?(M是?0的整式)； BB?MAA?M?(M是?0的整式) BB?M（2）分式的变号法则：
分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。 考点二、分式运算法则
（1）加、减：同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减；异分母的分式相加减，先把它们通分成同分母的分式再相加减。
（2）乘：先对各分式的分子、分母因式分解，约分后再分子乘以分子，分母乘以分母。 （3）除：除以一个分式等于乘上它的倒数式。
1
（4）乘方：分式的乘方就是把分子、分母分别乘方。 分式的运算法则
acacacadad??;????; bdbdbdbcbcanan()?n(n为整数); bbaba?b??; cccacad?bc?? bdbd【巧练】
题型一 分式有意义、无意义、值等于零的条件 例1．（2016北京市）如果分式【答案】x≠1． 【解析】
2有意义，那么x的取值范围是 ． x?1试题分析：由题意，得：x﹣1≠0，解得x≠1，故答案为：x≠1．
x2?5x?6例2.（2015·黑龙江绥化）若代数式的值等于0 ，则x=_________.
2x?6
【答案】x=2
【分析】根据分式值为零的条件：分子为0且分母不为0即可得。
?x2?5x?6=0x2?5x?6【解析】当?时，代数式的值等于0，解得:x=2.
2x?6?2x?6?0【点评】分式为零的条件中特别注意的是分母不能为0.
【方法技巧规律】分式有意义的条件是分母不为零；分式无意义的条件是分母等于零；分式值为零的条件
2
是分子为零且分母不为零． 题型二 分式的约分
例3.（2016山东淄博）计算【答案】1﹣2a． 【解析】
的结果是 ．
（1?2a）（1?2a）22a?1试题分析：将多项式1﹣4a分解为（1﹣2a）（1+2a），然后再约分即可，原式==1﹣2a．
【点评】解答此类问题一定要熟练掌握分式的基本性质。分式的基本性质：分式的分子分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。
【方法技巧规律】分式约分的步骤：(1)找出分式的分子与分母的公因式，当分子、分母是多项式时，要先把分式的分子与分母分解因式；(2)约去分子与分母的公因式． 题型三 分式的加减运算
m2n2?例4（2016四川省攀枝花市）化简的结果是（ ） m?nn?mA．m+n B．n﹣m C．m﹣n D．﹣m﹣n 【答案】A．
【点评】本题考查了分式加减法，要熟记分式加减法的运算法则。
【方法技巧规律】（1）分式加减运算的运算法则：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减；异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减。（2）异分母分式通分的依据是分式的基本性质，通分时应确定几个分式的最简公分母。求最简公分母的方法是：①将各个分母分解因式；②找各分母系数的最小公倍数；③找出各分母中不同的因式，相同因式中取次数最高的，满足②③的因式之积即为各分式的最简公分母．
题型四 分式的乘除运算
例5.（2016新疆生产建设兵团）计算： = ．
3
5c3【答案】2a.
【解析】
5c15c?2?32a. 试题分析：先约分，再根据分式的乘除法运算的计算法则计算即可，即原式=2aa【点评】本题考查的是分式的乘除法，将除法转化为乘法，然后将分子分母进行因式分解，约去公因式即可.
【方法技巧规律】分式乘除法的运算与因式分解密切相关，分式乘除法的本质是化成乘法后，约去分式的分子分母中的公因式，因此往往要对分子或分母进行因式分解（在分解因式时注意不要出现符号错误），然后找出其中的公因式，并把公因式约去. 题型五 分式的混合运算
2ab?b2a?b)?例6．（2016湖北省黄冈市）计算(a?的结果是 ． aa【答案】a﹣b． 【解析】
a2?2ab?b2a(a?b)2a..试题分析：原式===a﹣b，故答案为：a﹣b．
aa?baa?b【点评】本题考查分式的混合运算，通分、因式分解和约分是解答的关键。
【方法技巧规律】分式的混合运算的顺序是先算乘除，再算加减，如有括号先算括号内的部分，当算式中出现整式时，应把其分母看成1。 题型六 分式的化简求值
例7.（2016山东滨州）先化简，再求值：÷（﹣），其中a=．
22
【答案】原式=（a﹣2），当a=2，原式=（2﹣2）=6﹣42
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【点评】本题考查的是综合运用知识进行因式分解的能力.
【方法技巧规律】在分式运算的过程中，要注意对分式的分子、分母进行因式分解，然后简化运算，再运用四则运算法则进行求值计算．分式混合运算的顺序是先乘方，后乘除，最后加减，有括号的先算括号内的，其乘除运算归根到底是乘法运算，实质是约分，分式加减实质是通分，结果要化简．
关于化简求值，近年来出现了一种开放型问题，题目中给定几个数字，要考虑分母有意义的条件，不要盲目代入．
【限时突破】(30分钟) 1.（2015?衡阳）若分式
x?2的值为0，则x的值为（ x?1 ）
A． 2或﹣1 B． 0 C． 2 D． ﹣1
2.（2016山东滨州）下列分式中，最简分式是（ ）
3.（2016河北）下列运算结果为x-1的是（ ）
11?x A．
x2?1xx2?2x?1x?11??xx?1 D．x?1 xx?1B． C．
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