第八章 经济增长Ⅱ
1、索洛增长模型描述的一个经济有以下生产函数：y?k
A、解出作为s、n、g和δ的函数的稳定状态的 y值。
B、一个发达国家的储蓄率为28%，人口增长率为每年1%。一个不发达国家的储蓄率为10%，人口增长率为每年 4%。在这两个国家中，g=0.02，δ=0.04。找出每个国家稳定状态y的值。
C、不发达国家为了提高自己的收入水平可能采取什么政策？ 【答案】
A、为了解出稳定状态下含有s、n、g和δ的y的函数，我们用稳定状态下资本存量的变化公式： Δk=sf(k)?(δ + n + g)k 生产函数y?k可以写为k?y2。将生产函数代入稳定状态下资本存量的变化公式得：0=sy?(δ+n+g)y2
解出稳定状态下y* =s(δ+n+g）
B、题目中给出了如下信息：发达国家：s=0.28，n=0.01，g=0.02，δ=0.04。不发达国家 s=0.10，n=0.04，g=0.02，δ=0.04。使用（A）得出的求均衡状态 y的方程解得：发达国家：y*=0.28(0.04+0.01+0.02)=4 不发达国家：y*=0.10(0.04+0.04+0.02)=1
C、（A）得出的关于均衡状态y的方程说明，不发达国家要想提高收入水平，需要减少人口增长率或提高储蓄率。通过控制出生率以及施行少生政策来降低人口增长率；实行提高储蓄率的政策，如通过减少财政赤字来提高公共储蓄以及通过实施税收减免来刺激个人储蓄。
2、在美国，资本在 GDP中的份额为30%左右；产出的平均增长为每年3%左右；折旧率为每年4%左右；资本产出比率为2.5 左右。假设生产函数是柯布-道格拉斯生产函数，因此，资本在产出中的份额是不变的，而且，美国已经处于稳定状态。（关于柯布-道格拉斯生产函数的讨论可以参看第3章附录）
A、在初始稳定状态，储蓄率应该是什么？[提示：使用稳定状态的关系sy =(δ +n+g)k]
B、在初始稳定状态，资本的边际产量是多少？
C、假设公共政策提高了储蓄率，从而使经济达到了资本的黄金规则水平。在黄金规则稳定状态，资本的边际产量将是多少？比较黄金稳定状态的边际产量和初始稳定状态的边际产量，并解释。
D、在黄金稳定状态，资本产出比率将是多少？[提示：对柯布-道格拉斯生产函数来说，资本产出比率与资本的边际产量是相关的。] E、要达到黄金规则稳定状态，储蓄率必须是什么？
【答案】采用y?k?形式的柯布-道格拉斯生产函数，α为资本占收入的比例，已知α=0.3，因此生产函数为y?k0.3。在稳定状态，产出增长率等于3%，因此可知（n+g）=0.03。折旧率为δ=0.04。
资本产出比为 K/Y = 2.5。由于k/y = [K/L×E]/[Y(L×E)]=K/Y ，因此我们知道k/y = 2.5。
A、从稳定状态开始sy=(δ+n+g)k。重新整理导出s =(δ+n+g)(k/y)，代入上面的值得：s=(0.04+0.03)(2.5)=0.175即初始储蓄率为 17.5%。 B、根据第三章柯布-道格拉斯生产函数得知，资本占收入的中比例为α = MPK(K Y)，整理得：MPK=α/(K/Y)，代入上面的值得：MPK=0.3/2.5=0.12
C、我们知道在黄金规则稳定状态： MPK =(n+g+δ)=(0.03+0.04)=0.07
在黄金规则稳定状态，资本的边际产量为7%，而初始状态为12%。因此，从初始状态需要提高k到黄金规则稳定状态。
D、根据第三章柯布道格拉斯生产函数得知,MPK =α/(K/Y)，导出资本产出比得： K/Y =α/MPK 。我们可以用该等式解出资本产出比，代入数值得：K/Y= 0.3 /0.07= 4.29。因此，在黄金规则稳定状态，资本产出比为4.29，而现在为2.5。
E、从（A）可知s=(δ+n+g)(k/y)，k/y为稳定状态的资本产出比，在本题的导言中我们得到k/y=K/Y，而且在（D）中我们得到黄金规则下 K/Y = 4.29，代入上式得：s=(0.04+0.03)/(4.29)=0.30。为了达到黄金规则稳定状态，储蓄率必须从 17.5%上升到 30%。
3、证明下列有人口增长与技术进步的稳定状态的每一种表述 A、资本产出比率是不变的。
B、资本和劳动各自赚取了一个经济的收入中的不变的份额。[提示：想一下定义 MPK=f(k+1)?f(k)] C、资本总收入和劳动总收入都会按人口增长率加技术进步率（n+g）的速率增长。 D、资本的实际租赁物价是不变的，而实际工资以技术进步率 g增长。（提示：资本的实际租赁物价等于总收入除以资本存量，而实际工资等于劳动总收入除以劳动力）
【答案】A、在稳定状态，我们知道sy=(δ+n+g)k，可以写为k/y = s/(δ+n+g)。由于s、n、g、δ都不变，所以 k/y 也不变。由于k/y = [K/L× E]/[Y/(L×E)]= K/Y，因此在稳定状态下，资本产出比也不变。 B、我们知道资本占收入的比例α= MPK(K/Y)。在稳定状态，从（A）知K/Y不变，同时从提示知MPK为k的函数（稳定状态下k不变），因此MPK必然也不变。因此资本占收入的比例也不变。由于劳动占收入的比例等于1-α，因此，劳动占收入的比例也不变。
C、我们知道在稳定状态下，总产出增长率为n+g。在（B）中我们知道劳动和资本在收入中的比例都不变。这样劳动收入和资本收入的增长率也是n+g。 D、将实际租赁物价定义为R=资本总收益/资本存量=MPK×K/K=MPK
我们知道在稳定状态，由于人均资本不变所以 MPK不变。因此可以得出，在稳定状态下资本租赁物价不变。为了表示实际工资以技术进步率g增长，定义TLI为总劳动收入，L为劳动数量。根据提示，资本的实际租赁物价等于总收入除以资本存量：w=TLI/L，即wL=TLI，将该式写为百分比变化式：Δw/ w+ΔL/L =Δ
TLI/TLI。该式说明了实际工资增长率加上劳动数量增长率等于总劳动收入增长率。我们知道劳动增长率为n，并且从（C）知道总劳动收入增长率为n+g。因 此我们可以得出，实际工资增长率为g。
5、这个问题让你更详细的分析正文中介绍的两部门内生增长模型。
A、用效率工人的人均产出和效率工人的人均资本重新写出制成品的生产函数。 B、在这个经济中，收支相抵的投资（保持效率工人人均资本量不变所需要的投资量）是多少？
C、写出k变动的公式，该式表示Δk是储蓄收支相抵的投资。用这个式子画出一个表示稳定状态k的决定的图形。（提示：这个图看起来很像我们在分析索洛模型时所用过的图）
D、在这个经济中，稳定状态的人均产出Y/L增长率是多少？储蓄率s和在大学中的劳动力比率u如何影响这一稳定状态增长率？
E、用你的图说明u的提高的影响（提示：这种变动对两条曲线都产生影响）描述即时的和稳定状态的影响。
F、根据你的分析，u的提高对经济肯定是一件好事吗？并解释。 【答案】A、在两部门内生增长模型，制造业企业的生产函数为Y= F[K,(1-u)EL]，我们假设该生产函数规模收益不变。正如章节3-1 所述，收益不变意味着对于任何正数z，有zY=F(zK,z(1? u)EL)，设z =1/EL可得：
Y?K??F?,(1?u)?。EL?EL?设y为效率工人的人均产出，k为效率工人的人均资本，上式可写为：y = F(k,(1
?u))。
B、注意：研究性大学的生产函数为ΔE=g(u)E，我们可用章节8-1中的方法将 g(u)替换为不变的增长率g。为了保持效率工人的人均资本保持不变，收支相抵的投资包括三部分：δk是代
替折旧资本所需要的，nk为了新工人提供资本所需要的，g(u)为了研究性大学开发更多的知识储备提供资本所需要的。因此收支相抵的投资为(δ+n+ g(u))k 。
C、我们再一次用章节8-1中的方法，效率工人的人均资本增长是效率工人的人均收入与效率工人的人均收支相抵的投资。现在我们将从（A）中得到的效率工人的生产函数，和不变的 g，得到： Δk=sF(k,(1?u))?(δ+n+g(u))k
在稳定状态Δk=0，因此上式可写为sF(k,(1?u))=(δ+n+g(u))k
根据索洛模型，对于任意给定的u我们可以得到等式两侧的曲线，如图8-2。均
衡状态即两曲线的交点。
D、由图8-2可知，均衡状态下效率工人的人均资本恒定。同样我们假设在稳定状态 u恒定。（毕竟，如果u不恒定，那么也不是稳定状态）。因此效率工人的人均产出y也恒定。人均产出等于yE，E以g(u)的速度增长。因此人均产出的增长率为g(u)。储蓄率并不影响这个增长率：因为研究性大学的研究投入越多，稳定状态的增长率越高。
E、u的增长使图中两曲线都发生移动。任何效率工人的人均资本条件下，效率工人的人均产出都下降，因为制造业企业中每个工人用于生产的时间减少。这是 u提高的即时影响，因为当u上升时，资本存量 K和工人的劳动效率 E都不变。由于效率工人的人均产出下降，所以效率工人的人均储蓄曲线下降。同时，研究性大学的科研时间投入增加，提高了劳动效率g(u)的增长率。因此收支相抵的 投资在任何k下都上升，因此收支相抵的投资曲线上升。如图8-3：
在新均衡状态下，效率工人的人均资本从 k1将为 k2。效率工人的人均产出也下降。
F、在短期内，u 的上升确实降低了消费。毕竟，在（E）中，我们认为u提高的即时影响是降低产出，因为在制造业企业中工人投入在生产上的时间减少了并且研究性大学投入到知识储备上的时间增加了。对于给定的储蓄率，产出的下降意味着消费的下降。在长期稳定状态下的影响更加微小。从（E）中我们可以发现均衡状态效率工人的人均产出下降。但是福利取决于人均产出（和消费），而不是效率工人的人均产出。研究性大学在时间上投入的增加表示 E增长更加迅速。由于人均产出等于yE。虽然均衡状态y下降，在长期较快的E增长率起主要作用。因为，在长期消费是确定的。然而，由于消费最初下降，u的上升并不是一件好事。因为那些对现在一代人的关心大于子孙后代的政策制定者可能不会追求提高u的政策。（可以参考第七章复习题3）
6、这个问题要求你更详细的分析正文中提出的两部门内生增长模型
A、根据效率工人的人均产出和效率工人的人均资本重新写出制成品的生产函数 B、在这个经济中，收支相抵的投资（保持效率工人人均资本量不变所需要的投资量）是多少？
C、写出k变动的公式，该式表示△k是储蓄减收支相抵的投资。用这个式子画出一个表示稳定状态k的决定图
D、在这个经济中，稳定状态的人均产出Y/L增长率是多少？储蓄率s和在大学的劳动力比例u如何影响这种稳定状态增长率？ E、用你的图说明u的提高的影响
F、根据你的分析，u的提高对经济肯定是一件好事吗？并解释之。
【答案】A、课本中的生产函数为：Y=F（K,（1-u）EL）,如果我们假设该函数为规模收益不变,则满足zY= F（zK,z（1-u）EL）,令:z=1/EL,则可能得到:Y/EL=F(K/EL,(1-u)),因此,y=F(k,(1-u))
B、要保持效率工人人均资本量不变,则投资I?(??n?g(u))k。
C、根据稳定状态条件:?k?sF(k,(1?u))?(??n?g(u))k?0,因此:
sF(k,(1?u))?(??n?g(u))k对于一个给定的u,我们都可以根据索洛模型类似的
分析得到一个交点。
D、由c可知,达到稳定状态时,单位效率工人的资本拥有量为一常数k,而且,此时的u也为一常数,即:用于发展与研究的时间为一确定值.因此,此时单位效率工人的产出为一常数y.单位工人的产出为yE,而E由g(u)决定,因此,稳定状态下人均产出为yE.它与储蓄率无关,但与u相关。 E、短期u提高会减少消费,而长期则增加消费。
1、在索洛维亚这个经济中，资本所有者得到了2/3的国民收入，而工人得到了 1/3。
A、索洛维亚的男人留在家里从事家务工作，而妇女在工厂干活。如果一些男人开始走出家门工作，以至劳动力增加了5%，这个经济可衡量的产出会发生什么变动？劳动生产率——定义为每个工人的产出——是提高了，下降了，还是保持不变？全要素增长率提高了，下降了，还是保持不变？
B、在第一年中，资本存量为6，劳动投入为3，产出为12。在第二年中，资本存量为7，劳动投入为4，产出为14。在这两年之间，全要素生产率发生了什么变动？
【答案】A、总产出（Y）的增长取决于劳动（L）、资本（K）和全要素生产率（A）的增长率，如下式：ΔY/Y=αΔK/K+(1?α)ΔL/L+ΔA/A
α为资本占总产出的比例。由于ΔK/K=ΔA/A=0,劳动力增加了5%，总产出增加了ΔY/Y=(1/3)(5%)=1.67%即劳动增加了5%，使总产出增加了1.67%。 为了求出全要素生产率的增加量，使用以下公式： ΔA/A=ΔY/Y?αΔK/K?(1?α)ΔL/L =1.67%?0?(1/3)5%=0
在这种情况下，技术没有改变，因此所有的产出增长归因于投入的增长。全要素生产率为零。
B、在第一年与第二年中，资本存量增长了1/6，劳动力投入增长了1/3，产出增长了1/6。全要素生产率为：ΔA/A = ΔY/ Y?αΔK/K?(1?α)ΔL/L=(1/6)?(2 / 3)(1/6)?(1/3)(1/3)=?1/18≈?0.056 全要素生产率下降了1/18，约为5.6%。